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Jouer avec la suite géométrique

Dossier - Le nombre d'or
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Ce nombre si extraordinaire qu'il a normalement suscité, depuis longtemps, des interprétations philosophiques et hautement symboliques jusqu'à être pris pour la conception de l'univers.

  
DossiersLe nombre d'or
 
Feuilles de fougères. © Pattyjansen, CCO

On connaît maintenant la suite de Fibonacci, jouons à présent avec une autre suite : la suite géométrique.

Troisième jeu : une suite connue mais particulière

Reprendre la figure 2 de la page précédente d'où l'on a extrait le triangle sublime ABC que nous voyons ci-dessous en figure 1 et figure 2 avec le triangle sublime BFC (en rose) ayant sa base sur AB et son sommet en C.

Que remarque-t-on dans cette figure 3 (que l'on peut réaliser à la ficelle, sans aucun calcul) ?

Prenons par exemple IG comme base = 1.

Si IG = 1 alors GH = Φ et GF = GH, rayons du cercle (rouge) de centre G. Il suffit de regarder les triangles sublimes et leurs cercles pour admettre ces égalités.

GF = Φ donc FD' = Φ x Φ = Φ2 et dans le triangle FCB, BC = Φ2 x Φ = Φ3, etc.

Les cercles suffisent pour affirmer que c'est une suite de Fibonacci, mais en plus c'est une suite pour laquelle il suffit de multiplier une longueur par Φ pour avoir la suivante. Une telle suite est appelée une suite géométrique (en effet sur AB, toute base du triangle sublime est égale à la somme des deux bases précédentes), Φ en est la raison et 1 le chiffre de départ.

Le nombre d'or est le seul nombre à pouvoir engendrer (en plus sans calcul !) une suite géométrique dont on puisse calculer les termes par additions (ce qui était un avantage avec des chiffres romains !).