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Jouer avec le triangle d'or

Dossier - Le nombre d'or
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Ce nombre si extraordinaire qu'il a normalement suscité, depuis longtemps, des interprétations philosophiques et hautement symboliques jusqu'à être pris pour la conception de l'univers.

  
DossiersLe nombre d'or
 
Coeur de pomme, le triangle d'or. © Pexels, CCO

Reprenons le triangle d'or que nous venons de construire. C'est pour ce triangle qu'Euclide, dans Les éléments démontre géométriquement la construction d'un triangle isocèle dont chaque angle à la base est le double de l'angle au sommet et il montre la proportion « moyenne et extrême raison » du côté sur la base. 

Le triangle d'or. © DR

Côté/base = Φ, ce que nous avons trouvé avec notre ficelle. 

Jouer avec le triangle d'or

Pour construire la figure 2, partons du triangle ABC. 

Complétons la figure 1 en prolongeant l'arc de cercle de centre B et de rayon BC (en bleu) et en traçant aussi le cercle complet à partir du centre A.

Ces deux cercles se coupent en D et D'. Il suffit de regarder la figure obtenue où l'on remarque :

  • BC = BD' = BD = AD = AF = AD' = AE qui, pour cette figure, sera = 1. Si BC = 1, nous avons AB = AC = 1,618 (d'après ce qui précède) ;
  • ABC, déjà vu, côté/base = Φ, triangle d'or dit « sublime » pour le différencier du triangle suivant ;
  • ABD, base (AB)/côté (AD) = Φ, triangle d'or appelé « divin » ;
  • Triangle ABD', identique à ABD avec lequel il forme un losange d'or dont la diagonale AB et un côté sont dans le rapport Φ ;
  • AECBD est un pentagone régulier formé par un triangle sublime et deux triangles divins. Sa diagonale AB/le côté BC = Φ ;
  • Le triangle sublime ABC peut se décomposer en deux triangles : le triangle AD'B qui est divin et le triangle BD'C qui est sublime.
La figure 3 représente les triangles d'or que l'on peut facilement tracer et qui forment les quatre pièces du puzzle que j'ai créé et qui passionne mes petites filles (Maylis, 6 ans et Carla 4 ans).