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Les premières règles de raisonnement: les philosophes et les mathématiciens

Dossier - Les métamorphoses du calcul
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Les mathématiques à la conquête de nouveaux espaces. On l’a beaucoup dit, le siècle qui vient de s’achever a été le véritable âge d’or des mathématiques : les mathématiques se sont davantage développées au cours du XXe siècle que pendant l’ensemble des siècles qui l’ont précédé.

  
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Qu'est-ce donc qu'un raisonnement ? Si l'on sait que tous les écureuils sont des rongeurs, que tous les rongeurs sont des mammifères, que tous les mammifères sont des vertébrés et que tous les vertébrés sont des animaux, on peut en déduire que tous les écureuils sont des animaux. Un raisonnement, parmi d'autres, qui permet d'arriver à cette conclusion consiste à déduire successivement que tous les écureuils sont des mammifères, puis que tous les écureuils sont des vertébrés et, enfin, que tous les écureuils sont des animaux.

Ce raisonnement est simple à l'extrême, mais sa structure ne diffère pas fondamentalement de celle d'un raisonnement mathématique. Dans les deux cas, le raisonnement est formé d'une suite de propositions dans laquelle chacune découle logiquement des précédentes, c'est-à-dire dans laquelle chaque proposition est construite par une « règle de déduction ». Dans ce cas, on applique la même règle trois fois. Cette règle permet, si l'on sait déjà que tous les Y sont des X et que tous les Z sont des Y, de déduire que tous les Z sont des X.

On doit aux philosophes grecs les premiers recensements des règles de déduction, qui permettent de progresser dans les raisonnements, c'est-à-dire de déduire une nouvelle proposition de propositions avérées. Par exemple, on doit la règle précédente à Aristote qui a proposé une liste de règles qu'il a appelées syllogismes. Une deuxième forme de syllogisme introduit des expressions de la forme « Certains ... sont des ... » et permet, si l'on sait déjà que tous les Y sont des X et que certains Z sont des Y, de déduire que certains Z sont des X.

Portrait d'Aristote. Marbre du Pentélique, copie romaine de période impériale (Ier ou IIe siècle ap. J.-C.) d'un bronze perdu réalisé par Lysippe © Eric Gaba

Aristote n'est pas le seul philosophe de l'Antiquité à s'être intéressé aux règles de déduction. Les stoïciens, au IIIe siècle avant notre ère, ont proposé d'autres règles, par exemple une règle qui permet, de déduire la proposition B des propositions « si A alors B » et « A ».

Ces deux tentatives de recensement des règles de déduction sont contemporaines du développement de l'arithmétique et de la géométrie grecques, après la révolution méthodologique qu'a constituée le passage du calcul au raisonnement. On pourrait donc s'attendre à ce que les mathématiciens grecs se soient appuyés sur la logique d'Aristote ou sur celle des stoïciens pour formuler leurs raisonnements. Par exemple, à ce que la démonstration du fait qu'un carré ne peut pas être le double d'un autreait été construite comme une suite de syllogismes. Bizarrement, ce n'est pas le cas, malgré la claire unité de projet entre les philosophes et les mathématiciens grecs. Par exemple, Euclide, au IIIe siècle avant notre ère, a synthétisé les connaissances de la géométriede son époque dans un traité et organisé ce traité d'une manière déductive en donnant un raisonnement pour démontrer chaque chose qu'il affirmait sans utiliser ni la logique d'Aristote ni celle des stoïciens pour formuler ces raisonnements.

On peut avancer plusieurs hypothèses pour expliquer cela. L'explication la plus vraisemblable est que les mathématiciens n'ont pas utilisé la logique d'Aristote ou celle des stoïciens parce qu'elles étaient trop frustes. La logique des stoïciens permet de raisonner avec des propositions de la forme « si A alors B », les entités A et B étant des propositions qui expriment un fait simple, comme « Socrate est mortel » ou « il fait jour », que l'on appelle des « propositions atomiques ». Les propositions de la logique stoïcienne sont donc des propositions atomiques reliées entre elles par des conjonctions « si ... alors », « et », « ou »... C'est une conception très pauvre du langage dans laquelle il n'y a que deux catégories grammaticales : les propositions atomiques et les conjonctions. Elle ne prend pas en compte le fait qu'une proposition atomique - comme « Socrate est mortel » - se décompose en un sujet - Socrate - et un prédicat ou attribut - mortel.

La logique d'Aristote, contrairement à la logique des stoïciens, donne une place à la notion de prédicat : les expressions X, Y, Z qui apparaissent dans les raisonnements sont précisément des prédicats (écureuil, rongeur, mammifère...). En revanche, la logique d'Aristote ne comporte pas de « noms propres », c'est-àdire de symboles pour désigner des individus ou des objets, comme « Socrate », car, pour Aristote, la science ne concerne pas les individus particuliers, comme Socrate, mais uniquement les notions générales comme « homme », « mortel »... Ainsi, le syllogisme souvent donné en exemple - « Tous les hommes sont mortels, Socrate est un homme, donc Socrate est mortel » - n'a pas sa place dans la logique d'Aristote. Pour Aristote, le syllogisme est : « Tous les hommes sont mortels, tous les philosophes sont des hommes, donc tous les philosophes sont mortels. » Les propositions ne sont donc pas formées, dans la logique d'Aristote, avec un sujet et un prédicat, mais avec deux prédicats et un pronom indéfini « tous » ou « certains ». L'extension de la logique d'Aristote avec des symboles d'individus, tel le nom propre « Socrate », ne date que de la fin du Moyen Âge. Mais, même ainsi étendue, la logique d'Aristote reste trop fruste pour exprimer certains énoncés mathématiques : avec le symbole d'individu « 4 » et le prédicat « pair », on peut, certes, former la proposition « 4 est pair », mais il n'y a pas de moyen de former la proposition « 4 est inférieur à 5 » dans laquelle le prédicat « est inférieur à » ne s'applique pas à un seul objet, comme le prédicat « pair », mais à deux objets, « 4 » et « 5 », qu'il met en relation. Pour la même raison, il n'est pas possible de former la proposition : « La droite D passe par le point A. »

On comprend pourquoi les mathématiciens grecs n'ont pas utilisé les logiques proposées par les philosophes de leur époque pour formuler les raisonnements de l'arithmétique et de la géométrie naissante : parce que ces logiques n'étaient pas assez riches pour le permettre. Pendant très longtemps, ce problème de construire une logique suffisamment riche pour formuler les raisonnements mathématiques ne semble pas avoir intéressé grand monde. En dehors de quelques tentatives, comme celle de Gottfried Wilhelm Leibniz, au XVIIe siècle, ce n'est qu'à la fin du XIXe siècle, en 1879, que Gottlob Frege a repris le problème et proposé une première logique. Cette entreprise ne s'est, cependant, concrétisée qu'avec la théorie des types d'Alfred North Whitehead et Bertrand Russell dans les années mille neuf cents, puis la logique des prédicats de David Hilbert dans les années vingt.

Mais revenons aux mathématiques grecques. Le fait de ne pas disposer de règles de déduction explicites pour construire les raisonnements mathématiques n'a pas empêché les mathématiques de se développer. Simplement, jusqu'au XIXe siècle, la grammaire des propositions mathématiques et les règles de déduction sont restées implicites. Cette situation est fréquente dans l'histoire des sciences : quand un outil manque, on se débrouille en bricolant, et ces bricolages anticipent souvent la construction de l'outil à venir.

En revanche, au moins dans le cas de la géométrie, les axiomes, c'est-à-dire les faits que l'on admet sans démonstration et à partir desquels on construit les démonstrations, ont été rendus explicites dès Euclide. En particulier le célèbre axiome des parallèles, dont nous aurons l'occasion de reparler, qui, dans une forme modernisée, s'exprime ainsi : par un point extérieur à une droite, il passe une et une seule droite parallèle à la première. Le traité d'Euclide, les Éléments, resta pendant longtemps le prototype de la méthode mathématique : on pose des axiomes et, à partir de ces axiomes, on démontre des théorèmes, grâce à des règles de déduction, explicites ou implicites. Dans cette vision, seul le raisonnement permet de résoudre un problème mathématique, ce qui reflète l'importance que les Grecs, mathématiciens et philosophes, accordaient au raisonnement.

On pourrait penser que les mathématiciens grecs, découvrant avec la méthode axiomatique une nouvelle sorte de mathématiques, ont cherché à comprendre comment cette nouvelle sorte de mathématiques prolongeait les mathématiques plus anciennes des Mésopotamiens et des Égyptiens. S'ils l'avaient fait, cela les aurait amenés à chercher à comprendre comment articuler le calcul et le raisonnement. Mais ce n'est pas ce qu'ils ont cherché à faire : au contraire, ils ont fait table rase du passé et abandonné le calcul pour le remplacer par le raisonnement. De ce fait, après les Grecs, le calcul a à peine eu une petite place dans l'édifice des mathématiques.