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1256 : l'échiquier de Sissa et les grains de blé

Dossier - L'histoire des mathématiques en 10 dates clés
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Ce dossier se propose de fournir à un large public une introduction aux idées et aux penseurs mathématiques, avec des entrées assez brèves pour être assimilées en quelques minutes. Découvrez sans plus attendre l'histoire des mathématiques en 10 dates clés.

  
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Le problème de l'échiquier de Sissa est célèbre dans l'histoire des mathématiques, car il a servi des siècles durant à démontrer la nature des progressions géométriques et parce qu'il constitue l'une des premières mentions du jeu d'échecs dans les énigmes.

Jeu d'échecs. © Jeff Meyer cc-by-2.0

Sissa et l'échiquier du roi Shirham

L'érudit musulman Abu-l'Abbas Ahmad Ibn Khallikan (1211-1282) semble être, en 1256, le premier à débattre de l'histoire du Grand Vizir Sissa ben Dahir, auquel, selon la légende, le roi indien Shirham aurait demandé quelle récompense il souhaitait pour avoir inventé le jeu d'échecs.

Sissa répondit ainsi : « Majesté, je serais heureux si vous m'offriez un grain de blé que je placerais sur la première case de l'échiquier, deux grains pour la deuxième case, quatre grains pour la troisième, huit grains pour la quatrième, et ainsi de suite pour les soixante-quatre cases ».

Le fameux problème de l’échiquier de Sissa illustre la nature des progressions géométriques. Dans la version réduite proposée ci-contre, combien de sucreries la coccinelle obtiendra-t-elle si la progression 1 + 2 + 4 + 8 + 16... se poursuit ? © Dunod, droits réservés

« Et c'est tout ce que tu souhaites, Sissa, espèce d'idiot ? », hurla le roi abasourdi. Le roi ne se rendait pas compte du nombre de grains qu'il lui faudrait offrir à Sissa ! Un moyen de déterminer la solution consiste à calculer la somme des 64 premiers termes d'une progression géométrique, 1 + 2 + 22 + ... + 263 = 264 - 1, soit 18.446.744.073.709.551.615 grains !

Dante connaissait-il l'histoire de l'échiquier de Sissa ?

Il se peut qu'une version de cette histoire ait été connue de Dante Alighieri (1265-1321), car il fait référence à une idée similaire dans Le Paradis pour décrire l'abondance des lumières célestes : « Il y en avait tant que leur nombre croissait aussi rapidement que le nombre de grains sur un jeu d'échecs ».

De son côté, Jan Gullberg écrit : « Avec près de 100 grains par centimètre cube, le volume total des grains aurait représenté environ 200 kilomètres cubes, dont le chargement aurait nécessité 2.000 millions de wagons, soit un train égal à 1.000 fois la circonférence de la Terre ».