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834 : les anneaux borroméens, trois anneaux entrelacés

Dossier - L'histoire des mathématiques en 10 dates clés
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Ce dossier se propose de fournir à un large public une introduction aux idées et aux penseurs mathématiques, avec des entrées assez brèves pour être assimilées en quelques minutes. Découvrez sans plus attendre l'histoire des mathématiques en 10 dates clés.

  
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Les anneaux borroméens constituent, pour les chimistes et les mathématiciens, un ensemble déroutant, mais digne d'intérêt : ils se composent de trois cercles entrelacés, dont le nom provient de la famille Borromée qui l'utilisait comme symbole dans ses armoiries, au XVe siècle. Les Vikings utilisaient une version triangulaire, plus ancienne, dont l'un des exemples les plus célèbres figure sur le lit d'une femme éminente, morte en 834.

Les anneaux borroméens. © Jim.belk CCO

La trinité et autres symboles des anneaux

Si l'on coupe l'un des trois cercles, les deux autres se retrouvent libérés. Selon certains historiens, les premières configurations représentaient les trois familles Visconti, Sforza et Borromée, qui formaient une union au travers d'intermariages.

Les anneaux apparaissent aussi en 1467 dans l'église de San Pancrazio, à Florence. Les Vikings utilisaient une version triangulaire, plus ancienne, dont l'un des exemples les plus célèbres figure sur le lit d'une femme éminente, morte en 834.

Le motif de l’anneau borroméen a été retrouvé dans un manuscrit français du XIIIe siècle. Il symbolisait la trinité chrétienne. Le motif original contient le mot latin trinitas (trinité ou « trois en un ») scindé en trois syllabes – tri, ni et tas – écrites sur les trois cercles. © Dunod, droits réservés

Les anneaux borroméens en mathématiques

Les anneaux apparaissent en contexte mathématique dans l'article sur les nœuds (1876) du physicien et mathématicien écossais Peter Tait (1831-1901). Comme deux choix (par-dessus ou au-dessous) sont possibles pour chaque croisement, il existe 26 = 64 modèles d'entrelacs. Si nous faisons intervenir la symétrie, seuls 10 de ces modèles sont géométriquement distincts. Les mathématiciens savent aujourd'hui qu'il n'est pas possible de construire un réel ensemble d'anneaux borroméens avec des cercles plats dans l'espace ordinaire.

Vous pouvez le constater par vous-même si vous essayez de créer des anneaux entrelacés à partir de fil de fer, ce qui requiert une certaine déformation des fils. En 1987, Michael Freedman et Richard Skora ont démontré le théorème établissant que les anneaux borroméens sont impossibles à construire à l'aide d'anneaux circulaires plats dans l'espace ordinaire. En 2004, des chimistes de l'université de Californie ont réalisé un anneau borroméen moléculaire dont les cercles se croisent à l'échelle nanométrique et composé de six ions métalliques.

Domaines d'application des anneaux borroméens

Les chercheurs s'intéressent aujourd'hui à l'utilisation des anneaux borroméens moléculaires dans des domaines aussi divers que la spintronique (technologie qui exploite le spin et la charge des électrons) et l'imagerie médicale.