Sciences

La suite arithmétique de Fibonacci et le nombre d'or

Dossier - L'arithmétique et les plantes
DossierClassé sous :Mathématiques , botanique , mathématique

-

Une mise en parallèle très intéressante entre plantes et arithmétique : la suite arithmétique de Fibonacci, le nombre d'or et la beauté des spirales de la botanique ... intriguant !

  
DossiersL'arithmétique et les plantes
 

Leonardo Fibonacci, ou Leonardo da Pisa, est un mathématicien italien à cheval sur les 12ème et 13ème siècles. Son plus grand titre de gloire est d'avoir popularisé en Occident la numérotation indo-arabe appelée à supplanter progressivement la numérotation romaine si peu adaptée aux opérations arithmétiques les plus simples si vous en doutez, essayez de multiplier IX par XLVIII !.

Mais il est aussi connu pour avoir mis en évidence la série qui porte désormais son nom. Il n'est pas nécessaire de mémoriser chacun des termes de la suite (elle est infinie). Il suffit de se rappeler sa règle de construction: à l'exception des deux premiers, chaque terme de la suite est égal à la somme des deux termes qui le précèdent immédiatement. Par exemple : 21 = 8 + l3 ; 55 = 21+ 34

Fleur de tournesol. © Luca Postpischl - CC BY-NC 2.0

La suite de Fibonacci a une série impressionnante de propriétés qui font la joie des amateurs de mathématiques amusantes. Nous n'en retiendrons qu'une, car elle est importante pour ce qui va suivre: le rapport de deux nombres consécutifs de la suite est alternativement supérieur et inférieur au nombre d'or qui vaut exactement ( 1+Racine(5) ) / 2 = 1.61803398...

En effet : 13/8 = 1.625 ; 21/13 = 1.61538... ; 34/21 = 1.61904... et ainsi de suite: plus on avance dans la suite de Fibonacci et plus l'écart s'amenuise.

Qu'est-ce que ce nombre d'or qui traîne derrière lui des relents de numérologie cabalistique ?

Pour un mathématicien ou physicien, c'est un nombre remarquable en ce sens qu'on le voit surgir dans des domaines apparemment très éloignés de la suite de Fibonacci: on peut citer le pentagone régulier ou la théorie du chaos.

Les dimensions de La Naissance de Vénus de Sandro Botticelli respectent assez précisément la divine proportion. Il est pourtant très peu probable que celaindique une quelconque volonté de l'auteur.© Domaine public

Mais le nombre d'or déborde largement les mathématiques. Les anciens Grecs le connaissaient. Ce n'est pas une coïncidence, semble-t-il, si le fronton du Panthéon est inscrit dans un rectangle dont les longueurs des côtés adjacents ont le nombre d'or comme rapport; si ce même rapport apparaît fréquemment dans les statues de Phidias. Les peintres ou architectes "modernes" comme Botticelli, Dürer, Dali ou Le Corbusier, pour ne citer qu'eux, ont suivi l'exemple des anciens. Dans certains cas, il est possible que l'on ait voulu voir dans une oeuvre ce que leur créateur n'y avait jamais mis. Ce ne serait pas la première fois que les critiques auraient outrepassé leurs compétences.

Illustration de la suite de Fibonacci. © MichaelFrey - CC BY-NC 3.0

Il n'en reste pas moins que le nombre d'or, dans notre civilisation, a été associé à des qualités esthétiques particulières. L'influence pythagoricienne n'est sans doute pas absente de cette identification dont l'histoire a prouvé la solidité. Mais quelle relation peut-il y avoir entre le nombre d'or et les plantes ?