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Équation de Schrödinger

DéfinitionClassé sous :physique
Equation de Schrödinger indépendante du temps

Equation de base de la mécanique quantique décrivant l'évolution dans le temps du vecteur d'état l ψ > d'un système quantique arbitraire. Elle est équivalente à un problème aux valeurs propres dans la théorie des espaces de Hilbert comme Von Neumann l'a démontré. Son interprétation physique est généralement faite dans le cadre de l'interprétation de Copenhague de la mécanique quantique.

Elle s'écrit (ih/2 π) d l Ψ>/dt = Hl Ψ >

Erwin Schrödinger

L'équation de Schrödinger a été établie sous sa forme primitive en 1926 par Erwin Schrödinger et a été généralisée par Paul Dirac quelques années après. Initialement, elle reprenait les idées des mathématiciens Hamilton et Félix Klein pour prolonger la théorie des ondes de matière de De Broglie.

Louis De Broglie (Crédit : AIP).

Schrödinger découvrit donc une équation aux dérivées partielles décrivant un système mécanique Hamiltonien à l'aide d'un scalaire de champ ψ se propageant dans l'espace à 6N dimensions des coordonnées généralisées de ce système. Appliquée à une particule dans un champ, elle est très proche d'une équation d'onde dans l'espace et le temps, d'où parfois le nom de mécanique ondulatoire pour cette forme particulière et restreinte de mécanique quantique. Ceci explique d'ailleurs aussi pourquoi le vecteur d'état l ψ > est parfois appelé fonction d'onde ψ (x) du système.

Comme son découvreur l'avait compris, elle montre que la quantification de l'énergie des systèmes atomiques résulte d'une formulation en terme de problème de Sturm Liouville, ou de problème de valeurs propres pour un opérateur différentiel linéaire H. Initialement, elle n'était pas sous forme relativiste pour les particules, c'est encore Dirac qui en a trouvé une généralisation.

Paul Dirac (crédit : AIP Emilio Sergè Visual Archives)

Cette équation introduit fondamentalement des nombres complexes pour décrire l'état d'un système quantique et ses solutions sont les amplitudes de probabilités pour le système d'être mesuré dans un état donné, proton ou neutron, spin up ou down etc....

A chaque processus possible dans l'espace des états du système, et dans son espace de phase au sens de la mécanique analytique, correspond une amplitude de probabilités de se réaliser. Ces amplitudes de probabilités interfèrent et leurs carrés donnent la probabilité d'observer le système avec une valeur précise de ses variables dynamiques, énergie, spin, impulsion etc....Il s'agit en fait simplement de l'application du principe de Huygens pour une onde scalaire au scalaire de champ de Schrödinger dans l'espace de phase.

Gouvernant tous les processus à l'échelle microscopique, et donc la physique des molécules jusqu'aux quarks, elle s'appliquerait aussi à la cosmologie, quand l'Univers avait la taille d'une particule élémentaire.

Un des propriétés les plus importante de cette équation en mécanique quantique est de conduire au phénomène d' intrication quantique.

Equation de Schrödinger pour un système de noyaux et leurs électrons (Crédit : Robert Laughlin).

Une formulation alternative et très puissante de l'équation de Schrödinger a été donnée par Richard Feynman à l'aide de sa fameuse intégrale de chemin. Pas aussi générale que la forme de Dirac pour un vecteur d'état dans l'espace de Hilbert, la formulation de Feynman est cependant celle qui est la plus souple et la plus pratique lorsqu'on fait de la théorie quantique des champs de Yang-Mills et de la cosmologie quantique. La théorie des cordes repose largement sur cette formulation.

Richard Feynman expliquant la théorie du maser à ammoniac aux étudiant du Caltech.

L'équation de Schrödinger est linéaire, on spécule sur sa modification par l'adjonction de termes non-linéaires afin de résoudre des énigmes posées par la mécanique quantique, comme le passage de l'état quantique à l'état classique. L'expérience de pensée dite du "chat de Schrödinger" en étant un exemple typique parmi d'autres. Ceci concerne la théorie de la mesure et de la décohérence.