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Nombres premiers, y aurait-il des nombres premiers jumeaux ?

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Cette fois-ci, il en sûr : Daniel Goldston tient sa démonstration. Le mathématicien de l'Université d'Etat de San Jose a mis en ligne sur Internet l'ultime version de ses travaux, revue et corrigée grâce à l'aide de trois collègues turc, japonais et hongrois.

L'objet de l'attention des quatre scientifiques est étroitement lié à ce qu'on appelle la conjecture des nombres premiers jumeaux. Selon cette dernière, il existe une infinité de paires de nombres premiers qui ne diffèrent que de 2 (comme la paire 3 et 5), 2 étant le plus petit écart entre deux nombres premiers consécutifs.

Personne n'a jamais pu prouver cette conjecture (grâce à l'informatique on a seulement pu identifier des paires de nombres de plus en plus grands, les derniers trouvés comportant 51090 chiffres).

Mais en 2003, Daniel Goldston et Cem Yildirim, de l'Université Bogazici (Turquie), ont réussi à s'en approcher plus près qu'aucun autre mathématicien précédemment. Pour ce faire, ils ont choisi une voie détournée ; ils ont montré qu'étant donné une fraction, si petite soit-elle, il existe une infinité de paire de nombres premiers consécutifs plus proches l'un de l'autre que cette fraction de l'écart moyen dans leur voisinage.

Autrement dit, la plus petite distance (nommée d) entre deux nombres premiers consécutifs (p et p') comparée à l'écart moyen dans leur voisinage (log p) se rapproche de zéro à mesure que ces nombres premiers deviennent plus grands.

Ce résultat (la limite inférieure de d / log p est zéro) ne prouve pas la conjoncture des nombres premiers jumeaux mais est en accord avec elle puisque la limite inférieure de 2 / log p (avec p tendant vers l'infini) est bien 0.

Le travail établit par ailleurs que pour une infinité d'entiers n, il y aura au moins deux nombres premiers parmi n, n+2n, n+6, n+8, n+12, n+18 et n+20. Toutefois, la démonstration des chercheurs comportait des erreurs, détectées par leurs pairs, et il a fallu reprendre le travail. La nouvelle mouture, la dernière normalement, a été bien accueillie par la communauté mathématique.