Alain Connes en plein séminaire. La mathématicien poursuit son exploration des implications de la géométrie non commutative aussi bien dans le domaine de la physique des hautes énergies qu'en mathématique. © Collège de France

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Géométrie non commutative et physique selon Alain Connes (3/3)

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Dans deux précédents articles, nous avons commencé à explorer les relations entre géométrie et physique d'abord suggérées par les découvertes de Heisenberg et Von Neumann, puis celles d'Alain Connes en géométrie non commutative. Toujours en compagnie de Pierre Martinetti, nous examinons d'un peu plus près les implications de cette géométrie pour l'unification de la physique des forces de la nature.

Dans le dernier appendice de son célèbre ouvrage The meaning of relativity, Albert Einstein exposait les résultats de sa quête obstinée d'une unification des lois de la physique à partir d'une généralisation des équations de la relativité générale. Matière et champs de forces devaient être la manifestation d'une nouvelle géométrie de l'espace-temps courbe. Il caressait l'espoir de pouvoir également en dériver une version plus profonde de la mécanique quantique, complètement déterministe et basée sur un champ continu.

Lucide, le génial père de la théorie de la relativité générale n'en terminait pas moins pour autant son appendice par cette déclaration peut-être prophétique : « On peut donner de bonnes raisons pour expliquer pourquoi la réalité ne peut pas du tout être représentée par un champ continu. Il semble résulter avec certitudes des phénomènes quantiques qu'un système fini d'énergie finie peut complètement être décrit par une série finie de nombres (nombres quantiques). Ceci ne paraît pas être en accord avec une théorie du continu et doit conduire à un essai en vue de trouver une théorie purement algébrique pour la description de la réalité. Mais personne ne sait comment obtenir la base d'une telle théorie. » Ces mots datent de 1954.

En poste à l'université de Gênes, Pierre Martinetti explore les implications de la géométrie non commutative en physique fondamentale. © Pierre Martinetti

Mais comme nous allons le voir en continuant notre interview de Pierre Martinetti, ils prennent tout leur sens dans le cadre du modèle standard non commutatif construit en plusieurs étapes. La première fut celle d'Alain Connes en compagnie de John Lott. La deuxième version incorpore la théorie de la relativité générale et fut élaborée en compagnie d'Ali Chamseddine, en collaboration avec Matilde Marcolli pour y incorporer les neutrinos massifs. La troisième, enfin, avec W. van Suijlekom assure la « renaissance » du modèle après la découverte du boson de Higgs.

Vous nous avez expliqué dans le précédent article que l'idée d'utiliser une géométrie basée sur des algèbres non commutatives découvertes avec les équations de la physique quantique permettait d'imaginer une nouvelle solution au problème des divergences infinies en théorie quantique relativiste des champs. Mais existe-t-il d'autres conséquences possibles de cette géométrie non commutative susceptibles d'avoir un impact sur la physique des particules ?

Pierre Martinetti : Oui. C'est en étudiant cette possibilité avec les équations de Yang-Mills à l'origine des forces du Modèle standard qu'Alain Connes est tombé avec John Lott sur un résultat surprenant. Il a découvert qu'il était possible d'engendrer automatiquement le champ de Brout-Englert-Higgs, avec le mécanisme de brisure de symétrie qui donne une masse aux bosons de jauge du modèle électrofaible, à partir de ces équations. On est obligé de les postuler et de les introduire à la main dans le cadre du Modèle standard.

L'idée que le champ de Higgs pouvait s'interpréter de manière géométrique pour peu qu'on élargisse la notion de géométrie à un cadre non commutatif était déjà dans l'air (depuis au moins un article de Kerner, Dubois-Violette, Madore) mais il revient à Connes d'avoir incorporé cette idée de manière systématique dans une théorie mathématique plus vaste, et d'avoir su l'appliquer explicitement au cas du Modèle standard.

Derrière cette géométrie se trouve une théorie qui ressemble à celle de Kaluza-Klein. Mais elle en diffère dans le sens où, au lieu d'ajouter en chaque point de l'espace-temps une dimension spatiale supplémentaire continue, par exemple un cercle, on considère qu'il existe en réalité deux points formant un ensemble discret. Ces points sont éloignés dans un certain sens, mais il n'existe pas d'espace entre les deux. Tout se passe comme si l'on avait deux feuillets d'espace-temps à quatre dimensions. Cet ensemble de points est décrit par une algèbre qui implique la présence d'une géométrie non commutative modifiant les champs de Yang-Mills, de sorte que le champ de Brout-Englert-Higgs apparaît comme une des manifestations de ces champs.

Dans le langage que les mathématiciens utilisent pour décrire la géométrie des espace-temps de Kaluza-Klein, ce nouvel espace est le produit d'un espace riemannien M par, en chacun de ses points, un espace F où la géométrie est non commutative.

Ali Chamseddine est un physicien libanais qui a fait des contributions à la physique des particules et à la physique mathématique. © Institut des Hautes Études Scientifiques (IHÉS)

Le Modèle standard contient des champs de jauge en plus du fameux mécanisme de Brout-Englert-Higgs. Il postule également l'existence d'un certain nombre de champs de matière associés aux quarks et aux leptons, trois familles de ces particules, le mécanisme d'oscillation des neutrinos et les divers couplages entre les champs de matières, de Yang-Mills et de Brout-Englert-Higgs. Qu'en est-il du Modèle standard si l'on introduit d'autres aspects de la géométrie non commutative ?

Pierre Martinetti : On constate que miraculeusement, tous ces aspects du Modèle standard émergent de la géométrie courbe de l'espace avec la gravitation couplée à la matière moyennement quelques hypothèses.

Pour le démontrer, Alain Connes a utilisé les outils qu'il a découverts et qui permettent de construire l'analogue non commutatif de la géométrie courbe de Riemann. En autorisant l'espace courbe de Riemann à posséder en chaque point une structure non commutative (comme dans le modèle de Connes-Lott), Alain Connes, avec son collègue Ali Chamseddine, a montré que le Modèle standard pouvait être généré de manière identique à la gravitation. Techniquement parlant, il existe une formule « d'action » universelle qui, appliquée uniquement à la partie commutative de la géométrie, donne les équations de la relativité générale (avec en sus des termes de type gravité conforme de Weyl). Mais appliquée à la géométrie riemannienne non commutative, elle donne en plus les équations du Modèle standard, y compris celles du champ de Higgs.

Le modèle non commutatif donne aussi des contraintes sur le nombre de fermions par génération dans le Modèle standard (ce doit être deux fois le carré d'un nombre pair, ce qui est le cas dans le Modèle standard où ce nombre est égale à 32, soit deux fois le carré de 4). Modulo quelques hypothèse ad hoc (en particulier le nombre de générations), toute la structure compliquée du Modèle Standard devient une manifestation de la non-commutativité de l'espace.

On introduit donc un espace-temps à plus de quatre dimensions comme dans les théories de Kaluza-Klein pour expliquer les groupes de gauge ?

Pierre Martinetti : Non, pas du tout. On décrit juste d'une autre façon les points de l'espace-temps et l'algèbre des fonctions qui peuvent exister en chaque point de cet espace-temps. Cela a d'ailleurs plusieurs avantages par rapport aux théories de Kaluza-Klein (KK) et même aux modèles issus de la théorie des supercordes proposés sur la voie menant à l'unification de la relativité générale avec le Modèle standard.

Avec eux, il n'est pas facile d'expliquer ce qui fixe la taille des dimensions supplémentaires compactifiées, par exemple sous forme de sphères ou de tores. Autres problèmes, pourquoi sont-elles apparemment stables et pas en train de s'effondrer à la façon des étoiles donnant des trous noirs ou pourquoi ne sont-elles pas en expansion comme les autres dimensions de l'espace ? Il n'est pas facile de donner des réponses satisfaisantes avec les supercordes ou les modèles de Kaluza-Klein.

Par construction, la géométrie non commutative élimine ces problèmes. Il n'y a pas non plus les modes de Kaluza-Klein en nombre infini et de plus en plus massifs (les tours de KK) qui accompagnent chaque particule du Modèle standard, sortes d'équivalents des modes sonores des cavités résonnantes mais en l'occurrence des champs de ces particules du fait des dimensions spatiales supplémentaires.

Un autre avantage est que le modèle standard apparaît comme une conséquence presque unique d'une algèbre non commutative simple.

Dans un modèle simple de dimension spatiale supplémentaire, une quatrième dimension est enroulée sur elle-même pour former un cercle de rayon R. Une particule quantique aura alors une composante d'impulsion P dans cette dimension qui est quantifiée à la manière d'une orbite d'électron dans un atome. Il apparaît alors une composante de masse supplémentaire dépendant d'un nombre entier N qui s'ajoute à celle de la particule dans sont état fondamental M0. On obtient une tour de masses de Kaluza-Klein, un spectre de masses, qui devient continu lorsque R tend vers l'infini. © Joseph Lykken

La géométrie non commutative a émergé de la mécanique quantique. Le Modèle standard couplé à la gravité non commutatif est-il automatiquement un modèle incorporant la mécanique quantique ?

Pierre Martinetti : Absolument pas. Il décrit un ensemble d'équations de la même manière que dans le Modèle standard classique. On doit donc utiliser la machinerie habituelle pour tenir compte du quantum d'action et quantifier ces équations, c'est-à-dire les opérateurs de champs, les diagrammes et l'intégrale de Feynman, la théorie de la renormalisation, etc.

Il existe quand même une différence. Quand cette machinerie est utilisée pour réaliser des prédictions au LHC, on part des valeurs des constantes de couplages mesurées à plus basses énergies puis on calcule grâce au groupe de renormalisation ce qu'elles deviennent à plus hautes énergies. Cela contribue à changer les phénomènes observés dans les collisions.

La théorie quantique des champs prédits en effet que ces constantes, qui indiquent l'intensité de forces, changent selon l'énergie mise en jeu. On constate qu'elles prennent des valeurs comparables à des énergies de l'ordre de 1015 à 1017 GeV et c'est l'un des indices qui laissent penser depuis longtemps qu'à ces énergies les forces nucléaire forte et électrofaible doivent s'unifier. Elles seraient alors décrites par une seule force dans le cadre d'une théorie de Grande Unification, une GUT. Vers 1019 GeV et pour les mêmes raisons, cette force devrait s'unifier avec la gravitation.

Dans le cadre du Modèle standard non-commutatif, on fait l'inverse en quelque sorte. On suppose cette unification effectuée, sans la gravitation, en introduisant quelques contraintes générales et on calcul avec le groupe de renormalisation ce que cela implique à plus basse énergie. C'est de cette manière que l'on a pu en tirer des conclusions sur les valeurs de la masse du boson de Brout-Englert-Higgs et celle du quark top par exemple.

On peut obtenir des valeurs compatibles avec les mesures en supposant dans un premier temps qu'il n'existe pas de nouvelles particules entre le niveau d'énergie où l'on peut créer et observer au LHC des bosons de Brout-Englert-Higgs et celui où apparaissent de nouveaux bosons prédits par des GUT. Mais rien n'oblige vraiment à faire cette hypothèse, parfois appelée le « Grand Désert » en physique des hautes énergies.

Jogesh Pati est un physicien indien surtout connu pour ses travaux avec le prix Nobel de physique pakistanais Abdus Salam. © Stanford University

Justement, existe-t-il des GUT non commutatives ?

Pierre Martinetti : Alain Connes et ses collègues explorent cette question depuis quelques années et ils ont montré que la géométrie non commutative peut être utilisée pour dériver naturellement le modèle de Pati-Salam. Il a été proposé en 1974 par Jogesh Pati et le prix Nobel de physique Abdus Salam.

Dans le cadre du Modèle standard, les quarks portent des analogues de la charge électrique que l'on appelle des couleurs. Il y en a trois et elles sont décrites par un groupe de symétrie, SU(3). En considérant des charges avec un groupe SU(4), on peut unifier les quarks et les leptons en supposant que les leptons sont en quelque sorte des quarks d'une autre couleur.

Ce n'est pas encore une théorie unifiant les forces du Modèle standard mais ce modèle s'incorpore très bien dans une GUT très prometteuse qui, elle, le fait à partir d'une seule constante de couplage et un seul groupe de gauge : SO(10).

La physicienne et mathématicienne Matilde Marcolli a exploré de nombreux domaines à la frontière de la géométrie, de la topologie et de la théorie quantique des champs. © California Institute of Technology

La géométrie non commutative a-t-elle des implications dans le domaine de la gravitation quantique et de la cosmologie primordiale ?

Pierre Martinetti : On peut le penser mais on commence tout juste à pouvoir explorer cette possibilité. La théorie unitaire d'Alain Connes est une théorie effective comme on dit en physique, donc non fondamentale, pas plus que ne le sont les équations classiques de la mécanique des fluide.

Elle considère un espace-temps à quatre dimensions qui reste continu et décrit par une géométrie commutative avec en chaque point un espace supplémentaire fini et discret F décrit par une géométrie non commutative. C'est cet espace-temps est parfois décrit comme doué d'une géométrie quasi-commutative.

Alain Connes et ses collègues ont exploré l'idée que dans le domaine de la gravitation quantique, et donc dans une phase très primitive de l'Univers, la totalité de l'espace-temps devait être décrit par une algèbre non commutative. Ce serait quand le cosmos observable s'est refroidi qu'une transition de phase analogue à celle faisant passer un gaz à l'état liquide que la partie de l'espace-temps décrite par une géométrie commutative serait née. Dernièrement, ils ont aussi proposé l'idée qu'en régime de gravitation quantique, l'espace-temps serait en fait une collection discrète de volumes de la taille de Planck. On trouve une description similaire à la géométrie dans le cadre de la gravitation quantique à boucles, notamment lorsqu'on l'applique à la surface des trous noirs.

Toutefois, même en dehors d'un régime de gravitation quantique, le modèle de géométrie « quasi-commutative » de Connes et Chamseddine a été appliqué à la cosmologie primordiale par Matilde Marcolli et ses collègues. La théorie de la gravitation d'Einstein en est modifiée, comme je l'ai fait remarqué précédemment et on peut aussi trouver des implications dans le domaine de la théorie de l'inflation.

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