Albert Einstein vers 1920. © DP

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Géométrie non commutative et physique (1/3) : dans les pas d'Einstein

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La théorie de la relativité générale est centenaire mais on a rapidement entrepris de la dépasser, à commencer par Einstein lui-même, qui rêvait d'une théorie géométrique unifiée de toute la physique. Le mathématicien Alain Connes, comme Riemann au XIXe siècle, a introduit une nouvelle généralisation de la géométrie, dite non commutative, qui permet peut-être de réaliser le rêve d'Einstein. Difficile d'accès, cette théorie est peu médiatisée. Mais comme nous l'expliquera le physicien Pierre Martinetti, elle mérite que l'on s'y intéresse un peu plus. Ce que nous allons faire avec trois articles.

Dans un essai intitulé Éléments autobiographiques, rédigé et publié en 1949, et dans lequel il se limitait à indiquer son parcours intellectuel en physique, Albert Einstein affirmait avec force qu'avant la constitution de sa théorie relativiste de la gravitation en 1915, il était déjà clair pour lui qu'il devait exister une théorie unitaire pour les champs physiques fondamentaux. Champ de gravitation, champ électromagnétique et particules de matière fondamentales, c'est-à-dire à son époque électrons et protons, devaient pouvoir être déduits d'une seule structure, un seul champ. Il allait s'atteler à la construction de cette théorie unitaire quelques années plus tard et pour le reste de sa vie.

Sa théorie de la relativité générale lui avait permis de montrer que la force de gravitation résultait de la courbure de l'espace-temps et que celle-ci était gouvernée par des distributions d'énergie et d'impulsion, qu'elles soient sous forme de matière ou de rayonnement lumineux, dont elle dictait à son tour le mouvement. Il s'agissait déjà d'une remarquable unification d'une partie des briques fondamentales de la physique puisque l'espace et le temps de Newton étaient unifiés dans le cadre d'une nouvelle géométrie, celle de l'espace-temps du mathématicien Minkowski, puis généralisés au sein d'une autre géométrie plus vaste, celle de Riemann, ce qui permettait d'y incorporer la force de la gravitation.

Une géométrisation de la physique des forces et de la matière

Il était donc tentant d'aller un cran plus loin en utilisant une nouvelle généralisation de la géométrie capable d'inclure en son sein aussi bien le champ électromagnétique que les particules de matière. D'ailleurs, il semblait et il semble toujours déraisonnable d'avoir d'un côté une force décrite par la géométrie de l'espace-temps et de l'autre une force qui ne le serait pas, à savoir l'électromagnétisme. La découverte ultérieure des forces nucléaires faibles et fortes n'allait rendre le problème de l'existence de cette dissymétrie que plus aigüe, de sorte que beaucoup de physiciens, et même des mathématiciens, ont fini par emprunter les pas d'Einstein à la recherche d'une théorie unitaire.

Le grand mathématicien et physicien Hermann Weyl a beaucoup fait pour montrer l'importance des groupes en physique quantique. On lui doit aussi un excellent petit livre de vulgarisation sur le concept de groupe (Symétrie et mathématique moderne) et ses connexions avec la notion de symétrie dans les sciences de la nature, que ce soit la cristallographie, la biologie ou la théorie de la relativité ou même le domaine artistique. © ETH Zürich

Ce fut le cas dès 1919 pour Hermann Weyl, le meilleur élève d'Hilbert comme l'appelait Jean Dieudonné dans son célèbre ouvrage Pour l’honneur de l’esprit humain. Le grand mathématicien allait à cette occasion introduire les bases de ce qui deviendra plus tard les théories de jauge décrites par les équations de Yang-Mills, celles qui sont au cœur du Modèle standard actuel en physique des particules. Malheureusement, la théorie que Weyl avait exposée dans son remarquable cours de relativité générale a été rapidement réfutée par Einstein.

La même année, un autre mathématicien, Théodore Kaluza, propose une autre direction de recherche : augmenter le nombre de dimensions de l'espace, en l'occurrence une de plus. Un miracle se produit alors, les équations d'Einstein pour cet espace-temps à 5 dimensions sont équivalentes à celles en quatre dimensions, plus celles de l'électromagnétisme (les équations de Maxwell-Lorentz) dans cet espace-temps courbe.

L'idée sera reprise en 1926 par Oskar Klein qui lui donnera une forme plus précise tout en introduisant des considérations de mécanique quantique. Le raisonnement de Klein sera généralisé au sein des théories dites de Kaluza-Klein (KK) puis des supercordes en ajoutant encore des dimensions spatiales supplémentaires et même parfois de temps (théorie F).

Theodor Kaluza (à gauche) et Oscar Klein. Kaluza a proposé sa théorie en 1919. Elle n'unifiait que les forces connues de l'époque, à savoir la gravitation et l'électromagnétisme. Klein est allé plus loin dans les années 1930 en complétant les idées de Kaluza et en utilisant les lois de la mécanique quantique. © Stanley Deser, université de Göttingen

Les théories de type Kaluza-Klein

Certaines des idées au cœur des théories de KK sont simples à comprendre.

  • Prenons un segment de droite, il correspond à un espace à une dimension.
  • Collons à chaque point sur ce segment de droite un autre segment perpendiculaire au second, par exemple de même longueur. On obtient alors une surface à deux dimensions, un carré.
  • Répétons l'opération en collant à chaque point du carré un autre segment qui lui est perpendiculaire, on obtient un volume à trois dimensions.
  • On peut continuer de la même manière pour obtenir un objet à n dimensions. Suivant la même méthode, plusieurs autres constructions sont possibles.

Reprenons notre segment initial mais collons cette fois en chaque point un petit cercle. On obtiendra alors un cylindre. C'est précisément ce qu'a fait Klein en ajoutant une dimension spatiale supplémentaire. En bonus de réduire la force électromagnétique à de la géométrie, on pouvait aussi expliquer l'apparition de la charge électrique des électrons et des protons. La conservation de la charge électrique s'interprète alors comme une conséquence de la conservation de la quantité de mouvement dans la dimension spatiale supplémentaire, laquelle conservation est reliée à l'invariance du cercle par rotation, une symétrie décrite par un groupe nommé U(1).

De gauche à droite, Chen Ning Yang et Robert Mills en pleine discussion à la fin des années 1990. En 1954, les deux chercheurs avaient proposé une théorie de la force nucléaire forte basée sur la notion d'invariance de jauge issue des travaux du mathématicien Hermann Weyl. Leur nom a été donné à une large classe de théories des champs proposée en physique des particules, depuis leurs travaux. Les théories des champs du Modèle standard, le modèle électrofaible de Glashow-Salam-Weinberg et la chromodynamique quantique (QCD), sont des héritières de celle de Yang-Mills. © Nu Xu

Il se trouve que bien des années plus tard, une connexion fut établie entre les équations de Yang-Mills et la géométrie de plusieurs dimensions spatiales supplémentaires ajoutées. Ces équations reposent de façon fondamentale sur des groupes de symétries appelés groupes de Lie. Un groupe de symétrie est une collection d'opérations qui peuvent être appliquées à un ensemble d'objets et qui peuvent les laisser inchangés s'ils sont symétriques. Une sphère est par exemple invariante sous l'effet de rotations arbitraires autour de ses axes. Comme du temps de Klein et Kaluza, ces équations de Yang-Mills sont en fait des conséquences des équations d'Einstein écrites dans un espace à plus de quatre dimensions.

Le Modèle standard qui combine la force électrofaible avec la force nucléaire forte fait intervenir trois groupes de Lie nommés U(1), SU(2), SU(3). En étendant le raisonnement de Klein, ces trois groupes s'avèrent pouvoir découler de symétries décrivant des dimensions spatiales supplémentaires, par exemple en forme de sphères. C'est ce que fit en particulier dans les années 1960 le physicien Bryce DeWitt dans ses cours donnés en 1963 à l'école des Houches. Une généralisation avec plusieurs dimensions spatiales supplémentaires capable de rendre compte des forces nucléaires y était présentée comme simple exercice pour étudiants doués.

DeWitt Seligman (1923-2004) était un pionnier de la gravité quantique et des théories de jauge. On lui doit la célèbre équation de Wheeler-DeWitt de la cosmologie quantique et ses travaux ont impacté le Modèle standard et les calculs en théorie quantique des champs de jauge aussi bien que la théorie de l'évaporation des trous noirs. Alain Connes a aussi fait usage de ses travaux. © University of Texas

Une alternative, la géométrie non commutative d'Alain Connes

On explore cette possibilité depuis presque 40 ans. Mais il faut bien avouer qu'elle n'a toujours pas réussi à s'imposer et qu'elle pose de nombreux problèmes bien qu'elle conduise à des résultats spectaculaires. Ces dimensions spatiales supplémentaires peuvent exister sous forme d'un très grand nombre d'espaces que l'on peut « coller » perpendiculairement à l'espace-temps à quatre dimensions que nous observons.

Nous ne parvenons pas à déterminer quel est celui que la nature a choisi ni à en déduire tous les paramètres libres du Modèle Standard, comme les masses des quarks et des leptons en particulier.

Ces dimensions spatiales devraient être très petites mais se pose alors la question de comprendre pourquoi elles ne sont pas entrées en expansion comme les autres au moment du Big Bang, ou pourquoi elles ne se sont pas effondrées gravitationnellement comme le ferait une étoile donnant un trou noir. Des éléments de réponses ont été trouvés dans le cadre de la théorie des supercordes qui elle-même utilise d'autres éléments permettant de généraliser la géométrie de l'espace-temps, la supersymétrie. Mais aucun progrès décisif clôturant le débat n'a été accompli depuis une dizaine d'années environ.

Alain Connes est titulaire de la chaire Analyse et Géométrie au Collège de France. Il nous parle dans cette vidéo de son contact avec le monde mathématique, celui de Platon, tout aussi réel à sa façon que le monde physique qu'il structure. © Collège de France

À ce stade, on peut se poser la question de savoir si toutes les possibilités concernant une généralisation de la géométrie de l'espace-temps ont bien été envisagées et étudiées de façon approfondie. Il se trouve qu'il existe bel et bien une autre direction de recherche prometteuse, mais dont on parle trop rarement, celle indiquée par le grand mathématicien français Alain Connes. Depuis environ 25 ans, ce lauréat de la médaille Fields de mathématiques a mobilisé avec ses collègues, en particulier Ali H. Chamseddine, Matilde Marcolli et récemment Walter van Suijlekom, sa théorie non commutative de la géométrie pour partir en quête du Graal d'Einstein.

Futura a donc demandé à Pierre Martinetti, l'un des chercheurs qui a décidé de suivre le chemin ouvert par Alain Connes, de nous parler un peu des résultats que l'on a déjà obtenus dans cette voie. Après quelques prolégomènes sur les relations entre géométrie et algèbre nous verrons qu'il est bel et bien possible de retrouver, sous certaines hypothèses, les équations du Modèle standard en interaction avec le champ de gravitation décrit par la relativité générale.