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Groupe de Lie E8 : une clé pour la théorie des supercordes ?

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Après 4 ans de travail et 77 heures de calculs sur ordinateur, une équipe internationale composée de 18 mathématiciens vient de résoudre un problème mathématique important vieux de presque un siècle. Ces chercheurs ont déterminé la structure complète d'un objet mathématique appelé le groupe de Lie E8. L'information contenue dans cette structure est 60 fois plus grande que celle contenue dans l'ADN d'une cellule. Elle pourrait être à l'origine d'une révolution en théorie des supercordes.

Le mathématicien Fokko du Cloux.
Figure géométrique dont la complexe symétrie est codée par le groupe de Lie E8 (Crédit : AIM).

Si vous demandez à des mathématiciens professionnels ce qu'est le groupe de Lie E8, bien peu seront capables de vous répondre. Même si la théorie des groupes fait partie du bagage de tout mathématicien compétent, c'est un immense sujet avec des ramifications multiples. En fait, comme Poincaré l'avait affirmé, en exagérant un peu mais pas tant que cela, la théorie des groupes est toute la mathématique !

Auguste Comte, l'avait déjà dit, on ne connaît pas une science tant qu'on n'en sait pas l'histoire, on va donc faire un petit tour dans le passé.

Un peu d'histoire

La théorie des groupes remonte aux travaux d'Evariste Galois. Pour faire court, le but était de comprendre comment et pourquoi une équation algébrique d'un degré donné était résoluble (par radicaux) ou pas. Outre de donner les critères pour l'existence de solutions à une équation algébrique, il s'agissait de trouver et de classifier les moyens de les résoudre. En mathématique, il n'y a pas que des équations algébriques, il y a aussi des équations différentielles, or celles-ci sont capitales pour les physiciens. Toutes les lois fondamentales de la nature, les équations de la mécanique céleste de Newton et de Gauss, les équations de Maxwell de l'électromagnétisme et bien évidemment les équations d'Einstein et de Schrödinger pour la relativité générale et la mécanique quantique sont des équations différentielles !

Le problème est, qu'appliquées aux différents phénomènes du monde, elles peuvent donner lieu à des milliards de milliards d'équations différentielles différentes, ou au contraire identiques mais écrites sous une forme ne permettant pas de les reconnaître. On comprend donc qu'il serait bien pratique de pouvoir classifier ces équations, de les ramener à un petit nombre d'équations mathématiques fondamentales, et surtout de déterminer quand une solution existe et comment la calculer.

Impressionné par les travaux de Galois et de ses successeurs, comme Camille Jordan, le mathématicien Norvégien Sophus Lie avait donc entrepris un travail monumental pour construire l'analogue de la théorie des groupes de Galois pour les équations différentielles.

Le mathématicien Sophus Lie.

Il faut savoir qu'on peut construire facilement plusieurs équations différentielles. Ce qui complique les choses , c'est qu'elles peuvent être écrites avec différents systèmes de coordonnées, cartésien, sphérique, hyperbolique et beaucoup, beaucoup d'autres. Ce qui compte, c'est qu'en effectuant un certain « groupe » de changements de coordonnées dans l'équation, celle-ci ne change pas de forme (dans un sens précis), c'est une symétrie. Classifier ces équations revient donc, en gros, à classifier des symétries. Lorsqu'on effectue des changements de symétries infiniment petits, ceux-ci peuvent se représenter par des matrices, des tableaux de nombres à n colonnes et lignes.

Classifier et de larges ensembles d'équations différentielles, et les méthodes de résolution de ces équations, revient donc à classifier certaines matrices données et à connaître les nombres dans ces tableaux.

Le génial mathématicien Elie Cartan.

Les mathématiciens Killing, Cartan et Weyl sont parvenus à une classification complète, mais la classification est théorique, ils n'ont pas calculé à chaque fois les nombres présents dans la matrice. Au final, on sait qu'il existe 4 grandes familles de groupes de Lie classiques nommées An, Bn, Cn, Dn où n est un entier, et cinq groupes dits exceptionnels, G2, F4, E6, E7 et le dernier E8.

De même que toutes les molécules sont des composés des éléments simples, toutes les équations différentielles intégrables ont leur groupe de Lie qui est un composé des éléments dans ces grandes familles. De même que les atomes ont des isotopes, il existe différentes représentations d'un même groupe.

Le travail qui a été accompli correspond donc à la détermination de la structure d'un dernier élément chimique dans le tableau de Mendeleïev ainsi que de tous ses isotopes. Or, la détermination précise de la structure de E8 peut éventuellement être aussi importante pour la physique que l'avait été, pour la chimie, la compréhension complète de la structure de l'atome de carbone.

Pourquoi cela ?

A part ses multiples ramifications possibles en mathématiques, par exemple en géométrie, algèbre et arithmétique, des informations supplémentaires sur E8 pourraient se trouver déterminantes pour comprendre la théorie fondamentale de l'Univers, et même sa naissance !

On a déjà dit que la théorie des groupes de Lie était importante pour classifier et résoudre les équations de la physique, qu'elle était liée à des notions de symétries, or il se trouve que la mécanique quantique, et surtout la théorie quantique des champs, repose lourdement sur la théorie des groupes de Lie !

Les fameuses théories de jauge, si spectaculairement efficaces pour décrire les interactions nucléaires fortes et électrofaibles utilisent des groupes de jauge qui sont précisément des groupes de Lie. Mieux, la forme même des équations de ces théories est déterminée par ces groupes.

En effet, les propriétés de symétries des équations invariantes par ces groupes donnent des lois de conservations qui ne sont autres que celles de la conservation de la charge électrique, dans le cas de l'électromagnétisme, et de la charge de couleur des quarks pour la QCD. Unifier les interactions, c'est donc trouver un grand groupe de Lie qui contient comme sous-groupes les groupes spécifiques d'une interaction donnée. On comprend donc que classifier tous les groupes de Lie possibles et savoir comment les décomposer en leurs éléments de base est capital pour aboutir à ce projet.

Unifier la physique serait comme déterminer les différentes formules chimiques possibles pour une substance donnée et trouver l'unique formule qui rendrait compte de toutes les propriétés observées. Ce qui nécessite bien de connaître tous les éléments chimiques de base et leurs isotopes.

Pourquoi E8 est-il si intéressant ?

A cause de la théorie des supercordes, et de ce qu'on appelle la théorie des anomalies en théorie quantique des champs. Pour unifier les interactions il ne suffit pas seulement de trouver un grand groupe qui contienne les autres groupes, il faut qu'il respecte bien les bonnes lois de conservation. Je m'explique, sans directement passer par la mécanique quantique, les groupes de Lie peuvent déterminer des lois de conservations comme celle de la charge électrique, mais si l'on essaye de faire une théorie quantique du champ électromagnétique, il pourrait arriver qu'un groupe de Lie combiné aux règles de la mécanique quantique donnent bien la conservation de la charge, oui, mais juste des charges électriques positives !

Une loi de conservation classique peut donc être anormalement modifiée une fois transposée sans précautions au cas quantifié. Si on aboutit à quelque chose en contradiction avec l'expérience, c'est évidemment une catastrophe, d'où le terme d'anomalie. Maintenant, s'il l'on essaye d'unifier les forces nucléaires forte et électrofaible avec le champ de gravitation, on a deux problèmes :

-on aboutit aux fameuses divergences infinies en théorie de la gravitation quantique.
-on tombe sur des anomalies!

Le premier problème possède une seule solution connue, remplacer les particules par des cordes. Le second problème en possède deux dans la théorie des supercordes, doter celle-ci d'un groupe dit SO(32), qui rentre dans le cadre des groupes de Lie classiques, ou doter celle-ci d'un groupe formé par le produit E8*E8 !

Pour différentes raisons, qu'il serait trop long d'expliquer, on préfère ce dernier cas et c'est ce qu'on appelle la théorie des supercordes hétérotiques. Au passage, le dédoublement du groupe E8 pourrait indiquer que notre Univers est en fait double, avec deux feuillets, ou membranes, comme le prix Nobel Abdus Salam et les fondateurs de la théorie des cordes, Schwarz, Green et Witten l'ont fait remarquer il y a plus de 10 ans.

Les choses ne sont malheureusement pas aussi roses que ça, car même si l'on aboutit ainsi à une théorie finie, sans anomalies et qui contient les groupes de jauge du modèle standard, personne ne sait retrouver les valeurs exactes des masses et des charges des particules que l'on observe à partir de celui-ci. On peut donc se demander, dans l'hypothèse où la théorie des supercordes est bien sur le bon chemin, si le complément d'informations sur E8 maintenant disponible ne pourra pas être déterminant !

C'est loin d'être évident !

L'équipe du projet de l' Atlas of Lie Groups and Representations.

La taille de la matrice liée au problème de la structure de E8 est énorme, 248 lignes et 248 colonnes. L'information sur E8, codée dans des polynômes que l'équipe menée par des mathématiciens comme Jeffrey Adams, Marc van Leuwen (Poitiers) et David Vogan (MIT) a réussi à calculer correspond à 60 Gigabytes. Pour mémoire, le décryptage du génome humain a donné « seulement » 1 Gigabytes. Ici, 60 Gigabytes, cela donnerait 45 jours de musique en MP3 non stop ou la surface de Manhattan recouverte par des listings écrits en petits caractères !

Autant dire que la clé cruciale pour résoudre certains problèmes de la théorie des cordes pourrait bien se trouver être comme une aiguille dans un botte de foin ! La situation, d'ailleurs, est similaire avec le problème du Landscape en théorie des supercordes. La théorie est si puissante et si vaste qu'elle contient 10500 mondes possibles au moins! Sauf que là, les chances d'aboutir à une classification par ordinateur sont beaucoup plus faibles, dans l'état actuel de nos connaissances en tout cas.

Reste que tout espoir n'est peut être pas perdu, et qu'un autre groupe de mathématiciens et de physiciens, inspiré par l'exemple et les méthodes de l'équipe actuelle, et pourquoi pas donc de ses résultats, livrera peut être une part du secret de la théorie de "tout ce qui est" !

Pour finir, on ne peut passer sous silence que l'un des acteurs-clés de cette aventure a été le mathématicien Fokko du Cloux . En novembre 2005, on lui a diagnostiqué la maladie connue dans les pays anglo-saxons sous le nom de ALS. C'est la maladie dont souffre Stephen Hawking!

Fin 2004, Fokko du Cloux était au MIT avec ses collègues en train de travailler sur le programme nécessaire pour cartographier E8. L'un d'entre eux lui dit alors : « Fokko, regarde-nous, on passe nos dimanches à travailler ». Sa réponse fut : « Je ne sais pas pour toi mais moi j'ai juste le temps de ma vie ». Il est mort le 10 novembre 2006.