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M43 : découverte du nouveau plus grand nombre premier

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George Woltman, créateur du projet GIMPS, a officiellement annoncé samedi 24 décembre qu'un nouveau plus grand nombre premier venait d'être découvert.

Marin Mersenne

Comme ses prédécesseurs, il s'agit d'un nombre de Mersenne : 230.402.457 - 1. Il s'écrit avec 9.152.052 chiffres en base 10 ! C'est le 9ème nombre de Mersenne premier trouvé par le projet GIMPS et le 43ème nombre de Mersenne premier connu. On l'appelle : M43. Il a été découvert par les Docteurs Curtis Cooper et Steven Boone, professeurs à l'Université Centrale de l'Etat du Missouri (CMSU). Les participants au GIMPS ont reçu un formidable cadeau la veille de Noël !

Lancé en janvier 1996, le projet GIMPS a pour but de trouver de nouveaux nombres de Mersenne premiers. Des dizaines de milliers de PC dans le monde contribuent actuellement au projet. Ils utilisent leur "temps libre" à effectuer des multiplications sur des nombres ayant presque 10 millions de chiffres.

Un nombre premier est divisible seulement par 1 et par lui-même. Un nombre de Mersenne est de la forme : Mq = 2q - 1 , où q premier.

La méthode utilisée est très simple et est beaucoup plus rapide que de tester tous les diviseurs premiers possibles de Mq : elle consiste à calculer Si+1 = Si2 - 2 (mod Mq), en partant de S0 = 4 . Si Sq-2 = 0 (mod Mq) , alors Mq est premier. Cette méthode a été inventée par le français Edouard Lucas en fin du XIXème siècle et a été améliorée et prouvée rigoureusement par l'américain Derrick Lehmer au début du XXème siècle. Elle s'appelle : LLT (Lucas-Lehmer-Test).

Vraiment simple ! Mais un peu long. Avec q = 30.402.457, il aura fallu plus d'un mois de calcul sur un PC puissant travaillant jour et nuit. La vérification que j'ai faite à Grenoble aura duré moins de 5 jours, car elle a utilisé un super-calculateur Bull NovaScale 6160 disposant de 16 processeurs Itanium2 à 1.5 GHz ainsi que le programme Glucas, écrit par Guillermo Ballester Valor de Grenade (Espagne), qui parallélise le calcul du carré sur les 16 processeurs.

A quoi sert de chercher et trouver de tels nombres ?

D'abord, leur recherche contribue à l'amélioration des programmes de multiplication de grands nombres. Ensuite, leur recherche permet de vérifier la fiabilité des processeurs et des ordinateurs. Enfin, les nombres de Mersenne premiers sont utilisés par Apple pour de la cryptologie.

Les participants au projet GIMPS ont eu très peur. En effet, une récompense d'environ 50.000 Euros est promise au chanceux qui trouvera le premier nombre premier ayant plus de 10 millions de chiffres. Ils gardent donc toutes leurs chances !

Ce monstre de plus de 10 millions de chiffres sera très probablement un nombre de Mersenne : M44 ou M45, car la preuve de primalité des nombres de Mersenne est la plus simple qui soit, et le programme prime95 écrit en assembleur par George Woltman est le plus efficace qui soit. Il est donc certain que le nombre de participants au projet GIMPS va encore augmenter ! Les paris sur la date de découverte de M44 apparaissent déjà sur le forum du GIMPS.