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Dossier : les nombres premiers sous toutes les coutures

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Découvrez le dossier « Merveilleux nombres premiers ». Vedettes des mathématiques, les nombres premiers, divisibles uniquement par un et par eux-mêmes, continuent d'occuper les mathématiciens de tous horizons. Découvrez les propriétés et l'histoire de ces nombres essentiels en cryptographie dans ce dossier.

Très tôt, dès les premiers partages de jouets ou de friandises, on apprend que certains nombres entiers, tel 6 = 2 x 3, se « cassent » aisément en deux facteurs.

 

Pour connaître en une seule fois un grand nombre de nombres premiers consécutifs et pas trop grands (par exemple inférieurs à un milliard), on dispose d'une méthode vieille de plus de 2.000 ans.

 

Comme tout nombre entier supérieur à 1 est divisible par au moins un nombre premier, on comprend de façon intuitive que l'on peut ramener tout nombre entier à un produit où ne figurent que des nombres premiers.

 

Ce théorème « clé » est ce qui nous manquait pour prouver enfin le résultat d'unicité de la décomposition en facteurs premiers.

 

Il existe un outil remarquable qui simplifie les raisonnements arithmétiques et facilite la compréhension de bien des propriétés des nombres entiers.

 

En 1640, le mathématicien français Pierre de Fermat énonçait une conjecture (une affirmation mathématique non démontrée) très importante pour notre propos, car elle est à l'origine de nombreux tests de primalité.

 

Il est impossible de dresser la table précise des records du « plus grand nombre premier connu » avant le XVIe siècle : peu de documents des siècles précédents nous sont parvenus.

 

Le nombre 11 est le seul nombre palindrome à deux chiffres qui soit premier : en effet, un tel nombre est de la forme XX, donc multiple de 11.

 

À découvrir aux éditions Belin, Merveilleux nombres premiers, voyage au cœur de l'arithmétique, un ouvrage de Jean-Paul Delahaye.

 

Vue d’artiste d’une spirale d’Ulam, un mode de représentation des nombres premiers dans lequel on distingue d’étranges diagonales. © DR