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Dossier : L'infini est-il paradoxal en mathématiques ?

Découvrez le dossier L'infini est-il paradoxal en mathématiques ? L'infini est un sujet d'étude qui ne cesse de surprendre. Contrairement aux autres domaines des mathématiques, le travail n'y est pas seulement déductif. Comme l'a compris Gödel, il faut en trouver les règles par l’essai d'axiomes et des théories nouvelles. Le vertige que l'exploration des totalités infinies nous fait éprouver, et l'étonnement dont on est saisi par les limitations logiques rencontrées, constituent des plaisirs intellectuels souvent dérangeants.

L'infini n'a pas fini de nous surprendre : l'idée que l'on s'en fait ne cesse d'évoluer et de nouveaux infinis continuent d'être découverts. Trouvez une réponses à vos questions, avec le dossier L'infini est-il paradoxal en mathématiques ? © DR L'infini n'a pas fini de nous surprendre : l'idée que l'on s'en fait ne cesse d'évoluer et de nouveaux infinis continuent d'être découverts. Trouvez une réponses à vos questions, avec le dossier L'infini est-il paradoxal en mathématiques ? © DR

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Pour résoudre le paradoxe du tout et des parties et affronter l’hypothèse du continu, notre idée de l’infini actuel doit évoluer ; aujourd’hui encore, nous découvrons de nouveaux infinis.

 

L’histoire suivante, le paradoxe de l’hôtel de Hilbert, illustre pourquoi des ensembles infinis actuels ont longtemps paru absurdes.

 

L’infini n’a pas été accepté facilement, et on a longtemps espéré pouvoir s’en passer. Aristote refusait l’infini actuel (ou infini en acte), c’est-à-dire pris d’un seul tenant. Il déniait toute existence physique à l’infini, mais lui reconnaissait une certaine existence mathématique, car il lui semblait nécessaire d’envisager des grandeurs de plus en plus élevées : chaque entier est suivi d’un autre ; aucun point n’est le dernier point d’une droite. Les mathématiciens ont essayé de se contenter de cet infini potentiel ou en tout cas de s’y ramener, en évitant autant que possible l’infini actuel.

 

La solution du paradoxe de la réflexivité, proposée par Bolzano, est rendue parfaitement claire par le développement ultérieur de la théorie des ensembles en termes modernes. Elle s’énonce ainsi : la relation « est contenu dans », entre ensembles, ne doit pas être confondue avec la relation « avoir une taille plus petite que » ; les nombres carrés sont contenus dans les nombres entiers, mais comme totalité ils ont même taille. Il est bien vrai que si l’ensemble A est contenu dans l’ensemble B, alors la taille de A est inférieure ou égale à celle de B, mais elle peut être égale.

 

L’article dont Kronecker a retardé la publication (voir page précédente) contient un résultat de Cantor tout à fait étonnant qui, bien que ne constituant pas un paradoxe, fut à n’en pas douter considéré sur le moment comme créant une situation logiquement peu satisfaisante.

 

L’autre type de nombres infinis de Cantor (avec les cardinaux, voir page 4), les ordinaux, sert à mesurer la taille des ensembles lorsque leurs éléments sont ordonnés selon un bon ordre (un ordre tel que toute partie de l’ensemble possède un plus petit élément). Au-delà des ordinaux finis, qu’on assimile aux nombres entiers, il y a ω, le premier ordinal transfini, puis ω+1, ω+2, etc., qu’on obtient en ajoutant des unités une à une à ω. Plus loin encore, on trouve 2ω, 2ω+1... puis ω2, ωω, etc.

 

Plus tard, la théorie des ensembles formalisée, deux résultats importants furent démontrés concernant l’hypothèse du continu.

 

L’indécidabilité de l’hypothèse du continu ne règle donc pas la question de l’infini (voir page précédente), mais au contraire l’exacerbe : si vraiment la théorie des ensembles fournit une compréhension de l’infini actuel et n’est pas qu’un jeu gratuit entre symboles mathématiques, sans contrepartie dans le monde réel, il doit être possible d’avancer encore.

 

Les axiomes de grands cardinaux sont des affirmations portant sur des ensembles monstrueusement grands. Délicats à définir, ils procèdent de principes analogues à celui qui consiste à affirmer que non seulement ℕ, P(ℕ), P(P(ℕ)), etc. sont des infinis actuels légitimes, mais qu’il y en a de plus grands encore, dont certains qui contiennent à la fois ℕ, P(ℕ), P(P(ℕ)), etc.

 

À découvrir aux éditions Belin, le livre de l'auteur : La logique, un aiguillon pour la pensée.

 


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