Du corps noir aux trous noirs - 22/11/2007

« Pourquoi lorsqu’on chauffe un objet, celui-ci émet-il de la lumière ? Pourquoi la couleur de la lumière émise change-t-elle avec la température ? ». Ces questions paraissent simples et insignifiantes si on les compare aux grandes et éternelles questions comme « Qu’est-ce que la matière, l’espace, le temps ? D’où vient l’Univers et où va-t-il ? » Et pourtant, c’est en découvrant les réponses aux deux premières questions que les physiciens se sont dotés des outils conceptuels et mathématiques leur ayant permis de faire des progrès spectaculaires, tout au long du XX ième siècle, dans la résolution des énigmes que se posent l’esprit humain depuis des millénaires.

Le corps noir le plus parfait de l'Univers, le rayonnement fossile vu par COBE. Les différences de couleurs indiquent d'infimes différences de température dans ce rayonnement sur la sphère céleste (Crédit : NASA).

Le dossier qui va suivre est un voyage fascinant, mais complexe, à travers presque toute la physique et la cosmologie de la fin du XIX^ième siècle au début du XXI^ième. Bien sûr, il n’a pas l’ambition de traiter complètement ces sujets, une bibliothèque complète serait nécessaire pour cela. Il s’agit juste d’une esquisse du paysage de la physique théorique qui a émergé à partir de ce qu’on appelle, par tradition, le problème du corps noir et qui consiste précisément à comprendre et décrire mathématiquement ce qui se passe quand un morceau de fer chauffé passe de la couleur rouge à la couleur blanche, en émettant une quantité de lumière de plus en plus importante.

A gauche Max Planck et à droite Albert Einstein.

Le problème du corps noir a défié les plus grands esprits, de Kirchhoff à Hawking en passant par Planck et Einstein, et, par des bien des côtés, il continue aujourd’hui à le faire avec des théoriciens du calibre de ‘t Hooft et Susskind. Comme le lecteur le découvrira dans ce dossier, il est profondément à l’origine de la théorie quantique, clé du monde des particules élémentaires et de l’atome, et on le retrouve à l’échelle de l’Univers entier avec le rayonnement fossile laissé par la "création" de l’Univers observable. Mais plus important encore peut-être, il se révèle incontournable lorsque l’on cherche à comprendre ce qu’il advient de la matière, de l’espace, du temps, et surtout de l’information, lorsqu’une étoile de plusieurs dizaines de masses solaires explose en supernova et que son cœur s’effondre gravitationnellement pour donner un trou noir.

Stephen Hawking (Crédit : GrayWizard.net)

Comment lire ce dossier

• Ce dossier contient plusieurs niveaux de lectures. Certaines parties sont très techniques mais elles ne font que donner un aperçu de la machinerie conceptuelle et mathématique derrière certaines notions. On peut passer dessus en première lecture et elles ne doivent surtout pas effrayer le lecteur. En outre, elles ne prétendent pas à la rigueur, par contre, autant que possible, des liens existent vers la littérature spécialisée. Celle-ci est indispensable et doit servir de référence à qui voudrait vraiment étudier et maîtriser les notions abordées dans le dossier. Dans le cas contraire, le lecteur n’aurait qu’une vue simplifiée, et pouvant être trompeuse, de celles-ci s’il s’en tenait au pied de la lettre à ce qui n’a juste été qu’esquissé et particularisé pour les besoins de l’exposition. On espère quand même avoir isolé le fil conducteur, le système circulatoire de la saga du corps noir et avoir fourni un guide et un outil de travail pour toute personne curieuse d’explorer une partie de l’image de l’Univers qu’a fournie la physique théorique du XX ième siècle.
• Un résumé du texte principal se trouve en fin de dossier. Il contient les idées et les formules essentielles à retenir ainsi que le regroupement des liens importants du dossier.

Remerciements :

L'auteur de l'article tient à remercier vivement Loïc Villain et Richard Taillet pour leurs lectures de ce dossier. Comme d'habitude, s'il devait rester des erreurs et des obscurités, elles ne sauraient être que les miennes.

Vers la fin du XIX^ième siècle, la physique classique semble à beaucoup un monument presque complètement achevé. Les grands principes de l’Univers ont été décryptés, et il ne reste plus que quelques coefficients numériques dans les équations à déterminer expérimentalement. Bien sûr, reste encore le problème mathématique de déduire des principes et des équations de la physique classique tous les aspects du monde physique. Mais cela, pour les physiciens de l’époque suivant le programme lancé par Descartes quelques siècles plus tôt, c’est la tâche des générations futures.

Il reste quand même deux petites anomalies, comme le pape de la physique de l’époque, Lord Kelvin, le mentionnait dans une de ses conférences. La première est bien connue, c’est le résultat négatif de l’expérience de Michelson-Morley, et la seconde, les contradictions et les impasses rencontrées lorsque l’on cherche à déduire des équations de Maxwell, et des principes de la thermodynamique statistique, les lois du rayonnement d’un corps chauffé.

L’expérience de la vie de tous les jours nous enseigne que lorsqu’on porte un corps à une température de plus en plus haute, il se met à rayonner de plus en plus de lumière et change de couleur. De même, le rayonnement émis par un corps chaud chauffe un corps plus froid, il suffit de penser à l’action du Soleil.

La thermodynamique étant la science des transformations de l’énergie, elle doit avoir son mot à dire sur les lois déterminant la quantité de lumière produite par un corps chauffé, ainsi que sur la composition spectrale de cette lumière.

Si l’on considère un ensemble de corps chauffés à des températures différentes, placés dans une enceinte avec des parois parfaitement réfléchissantes, l’expérience montre que les plus froids se réchauffent et les plus chauds se refroidissent jusqu’à atteindre une température uniforme.

L'ensemble constitue alors un système en équilibre thermique ou encore thermodynamique : une situation identique advenant au bout d'un certain temps avec un glaçon plongé dans de l'eau par exemple.

Comme on va le voir, le but des physiciens de l'époque était de comprendre et de décrire le rayonnement précédent à l'équilibre thermique. L'une des étapes les plus importantes pour cela fut la découverte des lois de Kirchhoff

A) Les lois de Kirchhoff

 
Gustave Kirchhoff 1824-1887

Les lois du rayonnement de Kirchhoff sont parmi les plus belles illustrations de la puissance et de la généralité des raisonnements et des principes de la thermodynamique classique. On comparera utilement leurs dérivations avec celles de l’entropie, du rendement des machines réversibles, et de la notion de température thermodynamique même telles que Feynman et Fermi  les ont exposées dans leurs cours sur la chaleur.

Considérons donc à nouveau l'enceinte précédente, parfaitement réfléchissante et isolante, contenant une série de corps quelconques à  différentes températures. Au bout d’un moment, un équilibre thermique se produit et aussi bien les parois de l’enceinte que les corps se retrouvent à une même température. Le rayonnement lui-même dans l’enceinte se trouve avoir la même température que les corps à ce moment là, et l’on peut définir la densité d’énergie spectrale de ce rayonnement par unité de volume et bande de fréquence.

Ce qu’on pourrait appeler la première loi de Kirchhoff est que la fonction définissant la densité d’énergie spectrale du rayonnement dans l’enceinte ne peut être qu’une fonction dépendant uniquement de la température.

Si ce n’était pas le cas, la fonction définissant cette densité devrait dépendre des caractéristiques des corps dans l’enceinte ainsi que des parois de celle-ci. Mais alors, en mettant en contact deux telles enceintes à la même température et avec des corps différents, un transfert d’énergie se produirait de l’une à l’autre permettant d’extraire du travail avec une source monotherme : une contradiction flagrante avec le second principe de la thermodynamique.

La thermodynamique nous conduit donc à la découverte de l’existence d’une fonction universelle , caractérisant le rayonnement à l’équilibre thermique et ne dépendant que de la température et de la fréquence de ce rayonnement.

Considérons maintenant un seul corps dans l’enceinte précédente et soit   et le pouvoir absorbant et le pouvoir émissif d’un corps à la fréquence .

On peut alors montrer, qu’en raison de la conservation de l’énergie on doit nécessairement avoir la relation suivante.

  

C’est évident si l’on remarque que les fonctions précédentes sont positives et qu’un corps ne peut émettre plus d’énergie qu’il n’en absorbe, et inversement, de lui-même lorsque l'on est à l'équilibre. C’est ce qu’on pourrait appeler la seconde loi de Kirchhoff du rayonnement thermique.

Nous arrivons maintenant au résultat le plus remarquable et le plus spectaculaire.

Le rapport précédent est, on l’a vu, une fonction universelle.

Soyons malins, prenons un corps noir, donc parfaitement absorbant, et tel que vaut 1. Le pouvoir émissif de ce corps est donné par la fonction  (De black=noir en anglais) mais comme vaut 1, cette fonction s’identifie avec la fonction .

On aura donc:

Quel que soit le corps émettant de la lumière, à l’équilibre thermodynamique, la formule donnant la répartition de l’énergie rayonnée par bande de fréquence sera celle d’un corps noir !

Bien sûr, les corps ne sont jamais exactement des corps noirs, et surtout, ils ne sont pas toujours en équilibre thermodynamique avec un rayonnement. Il n’en restera pas moins que l’on aura toujours, à l'équilibre thermodynamique, une loi reliant absorption et émission de ce corps à une fréquence donnée avec ce qu’on appellera désormais la loi du corps noir.

Les physiciens classiques vont alors se concentrer sur la dérivation précise de cette loi universelle du rayonnement thermique.

Remarquons au passage qu’il est facile de réaliser un corps noir, ou tout au moins se rapprochant avec une excellente précision de celui-ci. En effet, il suffit de construire une enceinte creuse, comme une sphère, aux parois uniformément chauffées. Un rayonnement à l’équilibre thermique se produira de lui-même et, en perçant un petit trou dans cette enceinte, on peut vérifier que le spectre obtenu suit bien les lois du rayonnement d’un corps noir comme les suivantes.

B) Lois de Wien et de Stefan-Boltzmann

wilhelm Wien 1864-1928

Les ressources de la thermodynamique n’étaient pas encore épuisées. Si l’on considère le rayonnement thermique dans une enceinte dont une paroi est mobile, alors il est possible de comprimer le rayonnement tout comme un gaz.

Wilhelm Wien, en se basant sur les équations de Maxwell, l’effet Doppler changeant la fréquence du rayonnement dans l’enceinte par réflexion sur le piston mobile comprimant le rayonnement, et bien sûr les lois de la thermodynamique contraignant les transformations du travail mécanique en chaleur et inversement, a alors dérivé la formule suivante en 1893.

 

Etant elle aussi basée sur des raisonnements thermodynamiques, cette forme est universelle. Elle ne dépend pas des hypothèses particulières liées aux mécanismes d’émissions du rayonnement par un corps matériel, mais juste des équations de Maxwell et des deux principes de la thermodynamique.

Deux autres lois s’en déduisent aussitôt.

On peut faire une somme de l'énergie rayonnée sur tout le spectre, en intégrant, pour obtenir la densité d’énergie totale u du rayonnement à l’équilibre thermique. On obtient la fameuse loi de Stefan-Boltzmann qui avait déjà été obtenue par un autre raisonnement en 1884:

Cette densité d'énergie est reliée à la quantité d'énergie qu'émet, par unité de surface  et par unité de temps t, un corps noir, laquelle est donnée par la formule ci-dessous:

 

Une surface A aura donc une luminosité totale donnée par:

Enfin, si l’on exprime la loi du corps noir en fonction de la longueur d’onde du rayonnement, et que l’on cherche le maximum d’émission à une température donnée, on démontre que celui-ci se trouve à une longueur d’onde  vérifiant ce qu’on appelle la loi du déplacement de Wien.

 

Sur la figure ci-dessous, on a représenté la courbe expérimentale de la distribution spectrale du corps noir à différentes températures mais en fonction, non plus de la fréquence, mais de la longueur d'onde.

On comparera utilement cette courbe avec celle de la répartition du nombre de particules possédant une vitesse particulière (et donc une énergie cinétique) telle que la donne la loi de Maxwell-Boltzmann en théorie cinétique des gaz.

(Crédit : Whashington University).

En utilisant seulement les lois de la thermodynamique classique (sans théorie cinétique ni hypothèse atomique) et les lois de l'optique, c'est à peu près tout ce qu'il était possible de faire. La thermodynamique classique était cependant en passe d'être révolutionnée complètement par la mécanique statistique de Maxwell-Boltzmann et surtout de Gibbs-Einstein. C'est son application au problème du corps noir que nous allons étudier maintenant.

Pour en savoir plus : cours de Claude Aslangul sur l'ancienne théorie des quanta.

La théorie de Maxwell enseigne que de la lumière est émise lorsque des charges sont accélérées, c’est le cas par exemple avec un électron effectuant un mouvement d’oscillation autour de sa position d’équilibre. Il se met à perdre son énergie au profit de celle du champ électromagnétique. En première approximation, un corps solide chauffé peut donc être considéré comme une collection d’électrons effectuant des mouvements oscillants autour d’un centre fixe dans le solide.

Le champ électromagnétique lui-même est défini par le fait qu’il exercera une force sur un électron test placé au bout d’un ressort en un point de l’espace. Le système {corps matériel + champ électromagnétique} peut donc alors se représenter comme un ensemble d’oscillateurs harmoniques couplés.

On est donc en présence d’un système mécanique.

Or, les lois de la thermodynamique à la fin du XIX ième siècle étaient en train d’être réduites aux lois de la mécanique à l’aide d’hypothèses issues du calcul des probabilités. La théorie cinétique des gaz de Clausius, Maxwell et Boltzmann interprétait la chaleur comme une forme d’énergie mécanique, associée à l’agitation des molécules d’un gaz, et la température, à la mesure de cette agitation moléculaire.

En utilisant les principes de ce qu’on appelle la mécanique statistique, le mouvement d’un système mécanique avec un grand nombre de degrés de liberté, convenablement reformulé dans ce que l'on désigne par l’espace des phases d’un système mécanique, devenait alors similaire à celui des molécules dans un gaz.

De même que Maxwell avait introduit une distribution de probabilités donnant à l'équilibre thermodynamique la probabilité de trouver des particules du gaz ayant en moyenne une certaine énergie cinétique, de même, lorsqu'on considérait un système physique pouvant posséder une certaine énergie E_i, où i désigne aussi bien une série discrète que continue d'états d'énergie pour ce système, on pouvait définir une distribution de probabilités P_i telle que:

 

avec

 

où T est la température thermodynamique et

 

est une constante définie par la condition évidente que la somme des probabilités soit égale à 1.

L'inverse de cette constante se note aussi Z et on l'appelle la fonction de partition, ou encore la somme des états, en mécanique statistique.

La distribution de probabilités elle-même est connue sous le nom de distribution de Maxwell-Boltzmann, plus précisément et plus généralement aussi sous le nom de distribution de Gibbs en mécanique statistique classique.

Les notions de chaleur, température, entropie, qui sont fondamentales et universelles en thermodynamique classique, trouvaient de cette façon une interprétation et la raison de leur universalité.

Cela supposait toutefois de croire au caractère atomique de la matière dans une large part, mais cela impliquait alors que l’Univers était constitué de deux entités hétérogènes.

- la matière elle-même, que l’on pouvait décrire par un système discret de coordonnées de positions et de vitesses généralisées de la mécanique analytique 

- le champ électromagnétique, qui, bien que pouvant se décrire sous la forme d’un système mécanique à partir d’un lagrangien nécessitait quand même un nombre infini de degrés de liberté en raison de son caractère continu. La racine du problème que vont rencontrer les physiciens est précisément ici comme on va le voir.

Un théorème fondamental de la mécanique statistique, et qui sera au coeur de l'énigme soulevée par la théorie du corps noir, est celui de l’équipartition de l’énergie pour un système thermodynamique à l’équilibre.

Voyons voir son contenu dans les grandes lignes.

Soit

 

un hamiltonien avec coordonnées de positions et d'impulsions généralisées q_n et p_n décrivant, par exemple, l'énergie totale E d'un gaz de molécules ou une collection d'oscillateurs à une température T.

En général, H fait intervenir une somme de termes de la forme

 

et

 

Ce qui donne

Le théorème indique alors, qu’en moyenne, chacun de ces termes vaut  où est la constante de Boltzmann.

Les considérations précédentes ne sont qu'un survol en haute altitude, et ne prétendant pas à la rigueur, des idées et formules de la mécanique statistique. Il ne s'agit que de donner quelques éléments pour comprendre les problèmes auxquels ont été confrontés les physiciens classiques. Le lecteur voulant vraiment avoir une compréhension solide et rigoureuse de la mécanique statistique devra se reporter à la référence suivante par exemple :

Cours de thermodynamique statistique de Claire Lhuillier, Eric Brunet et Redha Mazighi du laboratoire de Physique Théorique de la Matière Condensée : Université Pierre et Marie Curie

où les formules exactes et les conditions rigoureuses de leur dérivation et applications sont exposées. La partie traitant du corps noir en cosmologie comporte aussi des liens intéressant et solides sur ces sujets.

Pour avoir une idée de ce qu'ont fait Rayleigh et Jeans, il faut prendre au sérieux le fait que le champ électromagnétique peut être considéré comme un système mécanique décrit par les équations de la mécanique analytique de Lagrange et Hamilton.

Considérons d'abord un système de points matériels de masses identiques et de coordonnées de positions x_n soumises à des forces. Selon les lois de Newton on pourra écrire (F désignant un ensemble d'expressions pour les forces):

On peut faire intervenir des quantités de mouvement p_n ce qui donnera les équations:

 

où l'on reconnaît déjà les équations de Hamilton-Jacobi de la mécanique dans un système de coordonnées donné.

Considérons maintenant une distribution continue de masses constituant une corde élastique dont les deux extrémités sont fixes et séparées par une distance l.

Il est bien connu que l'on peut décrire la propagation d'une onde sur cette corde avec l'équation suivante.

où a représente la vitesse de propagation de cette onde.

Là aussi, le formalisme de Hamilton peut être appliqué et cette équation, qui est l'analogue de celle de Newton, mais pour une distribution continue de matière, pourra s'écrire à l'aide d'équations rappelant celles d'Hamilton-Jacobi.

 

Les conditions aux limites sont les suivantes:

On peut alors décomposer la solution en séries de Fourier discrètes avec comme conditions initiales pour t=0

Maintenant, la solution générale dépendante du temps est

 

Or, en reportant dans l'équation d'ondes précédente on trouve:

 

Magiquement, l'état mécanique de la distribution continue de points matériels est en fait fixé par une série discréte de coordonnées mécaniques généralisées au sens de Hamilton. On reconnaît d'ailleurs un ensemble d'oscillateurs indépendants décrit par les équations de Hamilton-Jacobi ci-dessous:

 

 

avec 

L'évolution dans le temps de la mécanique de la corde est ainsi équivalente à la trajectoire d'un point de coordonnées (q_n,p_n) dans l'espace des phases habituel dans le cas du mouvement d'un système de points matériels.

L'énergie totale E de la corde pourra alors s'écrire comme la somme des énergies d'une série d'oscillateurs harmoniques.

 

Maintenant, les équations de Maxwell pour le champ électromagnétique dans une cavité aux parois parfaitement réfléchissantes peuvent donner lieu à une analyse tout à fait similaire à celle que l'on vient de faire. En considérant un cube dont la longueur des côtés est l, et en écrivant l'équation d'ondes pour le potentiel vecteur en utilisant la jauge de Coulomb (voir le lien dans le cours plus bas pour plus de détails), on montre que le champ électromagnétique est alors équivalent à un système d'oscillateurs harmoniques libres.

Si l'on considère le problème du rayonnement thermique, on peut donc appliquer les formules établies pour un système mécanique, comme les particules d'un gaz, décrit par un ensemble discret de degrés de libertés dans l'espace des phases de ce système. C'est précisément ce que Rayleigh et Jeans ont fait.

Mais attention, du fait de la linéarité des équations de Maxwell, le rayonnement tout seul est bien équivalent à une série d'oscillateurs indépendants, ce qui fait que, normalement, ils ne peuvent échanger de l'énergie et en tant que tel, un équilibre thermique n'est pas possible!.

C'est le couplage avec les oscillateurs mécaniques des parois ou des objets matériels dans la cavité qui va assurer cette distribution de l'énergie et permettre d'atteindre l'équilibre thermodynamique !

John William Strutt plus connu par son titre Lord Rayleigh (1842-1919)

C'est en 1900, avant Planck, que Lord Rayleigh présenta son analyse de la loi du rayonnement thermique. Toutefois, sa démonstration comportait quelques défauts qui furent corrigés en 1905 par James Jeans, son compatriote anglais, qui finira par être anobli en 1928.

Sir James Jeans (1877-1946).

Si on applique le théorème d'équipartition de l'énergie à l'équilibre thermodynamique aux oscillateurs de la somme discrète précédente, chaque terme au carré prendra en moyenne la valeur

 

et l'on voit vite qu'un problème  se pose.

Maintenant, l'analyse exacte de Rayleigh et Jeans pour la densité d'énergie du rayonnement du corps noir va en fait faire intervenir une somme continue de termes dépendant de la fréquence. Si l'on fait intervenir cette densité d'énergie  on fera apparaître comme expression des termes à sommer/intégrer: 

 

On peut se ramener très simplement à la formule générale dérivée par Wien sur les bases de la compression adiabatique du rayonnement dans une boîte avec des parois parfaitement réfléchissantes, car on peut  écrire:

Comme les physiciens du XIX ième siècle l'avaient découvert, et comme on pouvait déjà le prévoir avec la somme discrète précédente, les choses se gâtent terriblement lorsqu'on cherche à intégrer cette relation pour calculer la quantité totale d'énergie lumineuse. On obtient en effet:

 

Une quantité manifestement infinie et montrant clairement l'échec de la physique classique puisqu'on s'est appuyé sur la charpente parfaitement établie de celle-ci, à savoir les équations de Maxwell et les principes de la thermodynamique statistique.

L'origine de la divergence de cette quantité n'est pas difficile à comprendre. On voit qu'au fur et à mesure qu'on s'élève en fréquence, et qu'on rejoint la région de l'ultraviolet et au-delà, la quantité d'énergie par intervalle de fréquence  croit en .

Toutefois, on peut remarquer que la loi de Rayleigh-Jeans fonctionne très bien pour les basses fréquences.

Pour les hautes fréquences, et en partie par analogie avec la loi de Maxwell-Boltzmann, Wien avait proposé en 1896 la loi phénoménologique suivante:  

      

qui là aussi marche très bien. Malgré tout, on est encore en face d'une contradiction grave au coeur des lois de la physique classique.

Les lois de Planck et Rayleigh-Jeans en fréquence. La loi de Planck, valide pour tout le spectre, résout le problème de la divergence infinie des calculs en physique classique pour la loi du corps noir ( Crédit : HyperPhysics (©C.R. Nave, 2006) ).

Quelques années plus tard, au XX ième siècle, le physicien Paul Ehrenfest exprimera de façon lapidaire l'apparition de ce problème à l'origine de la chute du monde clair et "rationnel" de la physique classique.

Il parlera de la "catastrophe ultraviolette", une formule qui connaîtra un grand succès.

La résolution de ce problème viendra des travaux de Planck vers lesquels nous allons maintenant nous tourner.

 Paul Ehrenfest et Pascual Jordan. Ehrenfest n'acceptera jamais l'image "irrationnel" du monde fournie par la mécanique quantique. Il finira d'ailleurs par se suicider en partie à cause de cela. Pascual Jordan se fera connaître par ses travaux sur la mécanique quantique et notamment la quantification du rayonnement libre introduisant les photons d'Einstein comme des excitations quantiques du champ de Maxwell. On lui doit aussi des travaux en relativité générale. Ses sympathies pour le nazisme terniront ultérieurement son image dans la communauté scientifique.

Pour en savoir plus : cours de Claude Aslangul sur l'ancienne théorie des quanta.

Depuis ses tout premiers travaux en physique théorique, Max Planck s'était passionné pour la théorie de la chaleur et il avait été l'un des premiers à comprendre clairement le second principe de la thermodynamique. Ses professeurs n'étaient autres que Helmholtz et Kirchhoff, il était donc bien préparé pour s'attaquer au problème du rayonnement thermique.

Max Planck (23 avril 1858 - 4 octobre 1947)

Comme beaucoup de ses contemporains de la fin du XIX ième siècle, Planck ne croyait pas à la théorie atomique de la matière et il voyait dans la théorie cinétique des gaz de Maxwell-Boltzmann un simple artifice de calcul, certes efficace, mais absolument pas fondamental. Les atomes étaient des entités métaphysiques à tout jamais inobservables et seul le continu pouvait servir de base à la construction d'une représentation du monde, si ce n'est du monde lui-même.

Toutefois, il ne rejetait pas les méthodes de Boltzmann et était parfaitement capable de les comprendre et de les apprécier. Bien plus, il avait eu des échanges avec Boltzmann sur la théorie atomique et son utilisation pour dériver les lois de la thermodynamique et il avait pu bénéficier des conseils de celui-ci pour s'attaquer au problème du corps noir.

La solution qu'il trouva pour obtenir la véritable loi de répartition de l'énergie avec la fréquence pour le rayonnement thermique doit en fait beaucoup aux méthodes de Boltzmann et à sa mécanique statistique. Pour s'en convaincre, il suffit de savoir que lors d'une conversation en 1891, entre d'un côté Planck et Ostwald et de l'autre Boltzmann, celui-ci, refusant  de considérer que la thermodynamique sans l'hypothèse atomique était supérieure à la thermodynamique statistique, avait répondu "Je ne vois pas pourquoi l'énergie ne pourrait pas être elle aussi sous forme atomique".

 

Ludwig Boltzmann (1844-1906)

 

La formule de Planck

Le 19 octobre 1900, Max Planck  rendit public son article "Sur la théorie de la loi de la distribution d’énergie du spectre normal" dans lequel on peut trouver l'expression de la formule universelle du rayonnement thermique . Initialement, la formule de Planck n'était qu'une interpolation ingénieuse et physiquement contrôlée des formules de Rayleigh-Jeans et de Wien.

Très rapidement, Planck n'en resta pas là et c'est le 14 décembre 1900 qu'un nouvel article fit basculer la physique dans un nouveau monde.

A la recherche d'une interprétation théorique de sa formule, Planck s'était rendu compte que la division de l'espace des phases en petites cellules de volume fini, nécessaire comme intermédiaire de calcul dans la mécanique statistique de Boltzmann, introduisait naturellement des quanta d'énergie. Si l'on ne faisait pas tendre vers 0 le volume de ces cellules à la fin des calculs, cela conduisait simplement à une restriction des états d'énergies possibles des oscillateurs associés au rayonnement, conduisant alors à la dérivation de sa formule.

Si donc l'on admettait que les échanges d'énergie entre la matière et le rayonnement ne pouvaient se faire que par paquets d'énergie vérifiant la formule , il était possible de justifier théoriquement la formule d'interpolation qu'il avait introduite.

La formule de Planck s'écrivait alors sous la forme suivante:

Ce qui, si l'on préfère une distribution en longueur d'onde plus adaptée aux mesures en spectroscopie, donnera:

On peut vérifier que des développements limités à basse et haute fréquence redonnent bien les formules de Rayleigh-Jeans et de Wien.

Ainsi, il apparaissait une nouvelle constante universelle, h, que Planck interpréta comme un quantum d'action. En fait, une seconde constante fondamentale faisait aussi son entrée en physique même si elle avait toujours été là : la constante de Boltzmann k_b que Planck fut le premier a clairement identifier et qu'il nomma ainsi en l'honneur de Boltzmann.

Comme on a vu que la formule du corps noir était une formule universelle ne dépendant pas de la nature précise du corps chauffé, elle doit nécessairement dépendre de constantes fondamentales de la physique. Planck avait fort bien compris que ces deux nouvelles constantes se devaient donc d'avoir un rôle très général et très profond en physique. Il remarqua même qu'en combinaison avec la vitesse de la lumière et la constante de la gravitation, il pouvait définir un système d'unités fondamentales pour les grandeurs physiques : les fameuses masse, longueur et temps de Planck.

m_p = (c/G_N)^1/2    l_p = (G_N/c³)^1/2   t_p = (G_N/c⁵)^1/2

Planck, dans sa conférence Nobel, relata certains des détails de sa démarche lorsqu'il fit sa découverte, ainsi que son contexte dans le développement de physique théorique. On connaît aussi de lui le texte suivant, à propos de ses tentatives pour comprendre la nature exacte de la mystérieuse constante qu'il avait introduite:

"J’essayais donc immédiatement de rattacher d’une manière quelconque le quantum élémentaire d’action au cadre de la théorie classique. Mais la constante se révélait encombrante et récalcitrante à chacun de mes essais.

L’échec de toutes mes tentatives pour sauter l’obstacle me rendit bientôt évident le rôle fondamental joué par le quantum élémentaire d’action dans la physique atomique, et que son apparition ouvrait une ère nouvelle dans les sciences de la nature.

Car elle annonçait l’avènement de quelque chose d’entièrement inattendu et elle était destinée à bouleverser les bases mêmes de la pensée physique, qui depuis la découverte du calcul infinitésimal s’appuyaient sur l’idée que toutes les relations causales sont continues.

Mes vaines tentatives pour ajuster le quantum élémentaire d’action d’une manière ou d’une autre au cadre de la physique classique se poursuivirent pendant un certain nombre d’années et elles me coûtèrent beaucoup d’efforts.

De nombreux collègues trouvèrent qu’il y avait là quelque chose qui frisait la tragédie. Mais je suis à cet égard d’une opinion différente…Car la lumière totale que j’éprouvais alors me fut vraiment un enrichissement sans égal. Je savais désormais en toute certitude que le quantum élémentaire d’action jouait dans la physique un rôle beaucoup plus important que je n’étais porté à le pressentir au début, et cette acquisition me fit clairement sentir la nécessité d’introduire des méthodes radicalement neuves de calcul et de raisonnement dans le traitement des problèmes atomiques."
  

 
Les lois de Planck et Rayleigh-Jean en longueur d'onde (Crédit : HyperPhysics (©C.R. Nave, 2006) ).

Einstein, tout en reconnaissant l'importance des travaux de Planck, n'accepta pas ses conclusions. Pour lui, la quantification de l'énergie ne pouvait pas être réduite aux échanges d'énergie entre les systèmes physiques. C'est la nature même du rayonnement qui devait être modifiée pour devenir granulaire.

Albert Einstein (Crédit : 1998-2007 AllPosters.com. Tous droits réservés).

Ses travaux sur les fondements statistiques et cinétiques de la théorie de la chaleur, dans lesquels il avait retrouvé sans le savoir la mécanique statistique de l'américain W.Gibbs (l'un des fondateurs du calcul vectoriel), lui avaient permis de préciser l'origine des principes de la thermodynamique et leur dérivation à partir des lois de la mécanique et de certaines hypothèses probabilistes. Il avait donc pu préciser et généraliser les travaux de Boltzmann sur l'entropie et avait même fourni un moyen de démontrer enfin l'existence des atomes à l'aide du calcul des fluctuations thermiques intervenant dans le mouvement brownien.

La formule obtenue, rattachant ce phénomène à la thermodynamique statique et inexplicable avec une thermodynamique excluant l'existence des atomes, fut vérifiée par Jean Perrin. En effet, sans atomes, la forme des fluctuations des grandeurs thermodynamiques ne permettait pas de reproduire le mouvement brownien observé.

En fait, Einstein travaillait déjà depuis longtemps sur l'antinomie que représentait la description continue du monde donnée par les équations de Maxwell et les fondements mécaniques de cette théorie basés sur le concept de système discret de points matériels.

La généralité constatée des principes de la thermodynamique, et la dérivation par Boltzmann de la nature de l'entropie d'un gaz à partir du caractère discret de celui-ci, ne faisaient que montrer de façon claire et convaincante à Einstein que la lumière aussi devait être constituée d'un gaz de quanta d'énergie. C'est pourquoi en 1905, tout en adoptant l'hypothèse des quanta de Planck pour expliquer l'effet photo-électrique, il insista sur la nécessité de concevoir la structure de la lumière comme essentiellement discontinue.

Toutefois, à ce stade, Einstein ne parlait pas encore de particule de lumière mais bien de quanta d'énergie. Il n'arrivera à cette conclusion que bien plus tard, à savoir en 1917.

L'émission stimulée d'Einstein et la naissance de la mécanique quantique.

Tout en continuant ses travaux sur la relativité générale, Einstein ne cessait de réfléchir au problème des quanta de lumière et il suivait de près le développement de la physique atomique avec les modèles introduits par Bohr et Sommerfeld. Les oscillateurs de Planck pouvaient maintenant être remplacés par les atomes de Bohr et il devait pouvoir être possible de dériver sur ces bases la formule de Planck. Là encore, il utilisa les principes de la mécanique statistique, notamment le fameux principe du bilan détaillé intervenant dans l'analyse des réactions chimiques à partir de la thermodynamique statistique et de la théorie cinétique des gaz.

Einstein découvrit alors que, pour dériver la loi de Planck à partir d'un gaz d'atomes de Bohr en interaction thermique avec le rayonnement contenu dans une boîte, il devait nécessairement introduire des probabilités de transitions entre les différents niveaux de l'atome de Bohr. Une partie de ces probabilités exprimait la tendance d'un atome dans un état d'énergie non fondamental à se désexciter, en émettant du rayonnement selon une loi rappelant la désintégration radioactive. Mais une autre, montrait que l'absorption et l'émission d'énergie pouvait être stimulée par le rayonnement lui-même. Ce résultat est d'une grande importance car c'est lui qui est au coeur du fonctionnement des MASER et des LASER.

Les probabilités de transitions introduites par Einstein sont les fameux coefficients A_mn et B_mn que l'on retrouve partout en théorie quantique de l'interaction atome-rayonnement.

Il est digne de noter que non seulement Einstein fut le premier à comprendre la nécessité d'effectuer une refonte complète de nos conceptions sur la nature du rayonnement, mais que c'est lui qui fut le premier à introduire des probabilités en théorie quantique.

Un autre résultat important obtenu par Einstein est que le couplage matière-rayonnement à l'équilibre thermique impliquait nécessairement aussi que les quanta d'énergie devaient posséder une quantité de mouvement discrète.

Cette  fois-ci, le doute n'était plus permis : la lumière devait bien être constituée de particules. Mais alors le conflit entre la conception ondulatoire du rayonnement, expliquant parfaitement les phénomènes d'interférences et de diffractions, et la conception corpusculaire devenait encore plus violent.

De fait, c'est précisément ce papier, avec l'introduction de probabilités de transitions et l'établissement de la dualité onde-corpuscule de la lumière, qui servira de base à Heisenberg et De Broglie pour introduire la mécanique matricielle et la mécanique ondulatoire.

Cela suffit à montrer combien Einstein peut être considéré comme un des fondateurs principaux de la mécanique  quantique et à quel point l'image d'un Albert Einstein vieillissant, dépassé par les progrès de cette théorie à partir de 1927, est bien naïve.

L'histoire de Satyeandra Nath Bose est remarquable. Jeune professeur à l'Université de Calcutta en Inde, il cherchait à préciser ses idées pour un cours sur la théorie des quanta de lumière d'Einstein. Se trompant dans l'application des lois de la statistique de Maxwell-Boltzmann pour un gaz de particules, il redériva de façon presque purement quantique, et surtout très simplement, la loi du corps noir de Planck !

Satyeandra Nath Bose (1894-1974).

Comprenant que son erreur était en fait une percée fondamentale, il décida de publier sa découverte. Les "referee" de l'époque rejetèrent l'article et Bose l'envoya en désespoir de cause à Albert Einstein. 

Celui-ci comprit bien sûr instantanément sa valeur et il le traduisit en allemand et le fit publier lui-même en attirant de l'attention des chercheurs sur l'importance de ce travail.

Pour dériver la loi de Planck uniquement à partir de la formule de Planck, il fallait introduire une mystérieuse condition d'indiscernabilité pour les particules de lumière. Une hypothèse qui était en fait équivalente à l'erreur de calcul initiale de Bose, comme celui-ci l'avait parfaitement compris.

Aujourd'hui, les particules obéissant à la statistique de Bose-Einstein, comme on l'appelle, sont tout naturellement appelées des Bosons.

Le prix Nobel Enrico Fermi (1901-1954).

Fermi utilisera la même hypothèse d'indiscernabilité, mais combinée au principe d'exclusion de Pauli, pour décrire les électrons. On aura alors ce qui est aujourd'hui connu sous le nom de statistique de Fermi-Dirac. En effet, Paul Dirac aura indépendamment la même idée.

La saga des quanta de Planck ne s'arrêta pas là.

Pascual Jordan, qui avait surtout reçu une formation de mathématicien, est l'un des créateurs de la mécanique matricielle avec Heisenberg et Born. Alors que ces derniers préféraient attendre que la mécanique quantique se perfectionne, il est le premier à appliquer le formalisme de la mécanique matricielle aux équations de Maxwell. Pour lui, la discontinuité de l'énergie du rayonnement et la symétrie de comportement de la matière et de la lumière ne pouvaient dire qu'une seule chose. La discontinuité du rayonnement devait avoir une origine similaire à la discontinuité des niveaux d'énergie dans l'atome, et le formalisme mathématique qu'il avait développé dans deux articles avec Max Born et Heisenberg ne pouvait pas ne pas s'appliquer aux équations de Maxwell sous forme hamiltonienne. La loi de Planck devait pouvoir y trouver une dérivation beaucoup plus profonde.

Le prix Nobel Max Born (1882-1970), le grand-père d'Olivia Newton-John.

On peut donc le considérer comme le fondateur de la théorie quantique des champs, même si les travaux les plus importants du domaine de 1925 à 1935 seront en réalité l'oeuvre de Pauli, Heisenberg et enfin Dirac et Fermi.

En décomposant à la manière de Rayleigh et Jeans le potentiel vecteur du champ électromagnétique, il quantifia ensuite les oscillateurs obtenus à l'aide des règles de la mécanique matricielle. Automatiquement, la mécanique statistique du système obéissait à la mystérieuse condition d'indiscernabilité que Bose avait introduite dans son article pour retrouver la loi de Planck.

Sur tous ces sujets, le livre d'Olivier Darrigol est une mine sur l'histoire des développements de la mécanique quantique. On consultera avec profit aussi les ouvrages de Françoise Balibard sur la démarche d'Einstein, liant de façon très importante ses travaux sur l'effet photo-électrique, la relativité restreinte et le mouvement brownien.

La théorie du corps noir ne s’applique pas que dans le domaine de la physique de l'infiniment petit, on la retrouve aussi en cosmologie dans le cadre de la théorie du Big Bang. Ce n’est pas le lieu ici d’exposer ne serait-ce même que les bases des modèles cosmologiques et surtout la physique du rayonnement fossile, qui a un spectre de corps noir, et ses anisotropies car ces sujets seuls nécessiteraient une bonne centaine de pages. Toutefois, pour comprendre l’importance du rôle de la théorie du rayonnement thermique dans la découverte et le développement du modèle standard de la cosmologie (cours de JP Luminet I) il est nécessaire de rappeler quelques éléments.

Très rapidement après la constitution de sa théorie de la relativité générale en 1916, Einstein a été confronté au problème de définir les conditions aux limites à l’infini permettant de résoudre les équations de la relativité générale. Cela le conduisit naturellement à étudier la forme générale de l’espace-temps de l’Univers. D’autant plus qu’en tant qu’adepte du principe de Mach, qui veut que l’inertie d’un corps soit complètement déterminée par l’attraction gravitationnelle des autres corps à l’infini, la question de la définition d’un modèle cosmologique en relativité générale permettant de prendre en compte des effets « non locaux » liés à l’Univers à grande échelle s’impose d’elle-même pour Einstein. Rappelons que pour Mach, comme pour Einstein, dans un Univers où seule existerait une particule de matière les forces d’inertie disparaîtraient. En effet, c’est l’ensemble des masses à "l’infini" qui en attirant de façon homogène isotrope une particule de matière dans toutes les directions produirait l’effet que nous appelons inertie.

En se basant sur le principe de Copernic, et malgré le fait qu’à son époque on n’avait aucune preuve que les nébuleuses observées soient d’autres galaxies comme notre