Les fractales - 02/05/2007

Les quaternions sont une généralisation des nombres complexes. Ils ont été introduits au 19ème siècle par le célèbre mathématicien Hamilton qui a établi les règles de l'arithmétique de ces nombres.

Les quaternions ont une partie entière et trois parties imaginaires. On peut remplacer les nombres complexes par des quaternions dans la formule de l'ensemble de Mandelbrot ou des ensembles de Julia. La représentation graphique de ces ensembles paraît à première vue impossible.

En effet si les ensembles de Mandelbrot et de Julia classiques peuvent être représentés en deux dimensions, leurs homologues quaternioniques ont quatre dimensions. Les choses sont toutefois plus simples qu'il n'y paraît. En effet on peut considérer ces objets comme des objets à trois dimensions qui évoluent dans le temps (la quatrième dimension).

Donc si l'on donne à une des parties imaginaires une valeur constante, tout se passe comme si l'on regardait un objet à trois dimensions à un moment précis de son évolution. En faisant des constructions graphiques pour des valeurs successives de la variable « temps » il est même possible de faire une animations où l'on voit l'ensemble apparaître progressivement, grandir, changer de forme, puis diminuer jusqu'à disparaître.

Concrètement on représente des ensembles de Julia quaternioniques. Imaginez que vous isoliez la partie noire qui, dans une image vue précédemment, représente l'ensemble de Julia. Imaginez que cet ensemble soit un volume et non une surface plane. Imaginez enfin que vous regardiez cet ensemble de l'extérieur : vous obtenez un objet étrange qui ressemble à une sculpture moderne abstraite.