Les fractales - 02/05/2007

Je mets ce terme entre guillemets car il englobe en fait toutes les structures et phénomènes, naturels ou artificiels, qui ont, au moins jusqu'à un certain niveau, une structure fractale.

Par exemple un des premiers sujets d'étude de Mandelbrot a été la distribution des parasites sur les lignes acheminant des signaux entre ordinateurs. À cette époque ces lignes étaient en effet relativement rustiques et très loin de la perfection présentée aujourd'hui par les fibres optiques qui acheminent la quasi-totalité du trafic Internet qui vous permet de lire ces pages.

Mandelbrot constate que ces parasites se répartissent en rafales séparées par des périodes d'accalmies. Mais les rafales elles-mêmes sont constituées de bouffées plus courtes séparées par des intervalles calmes, et ces bouffées peuvent à leur tour être décomposées en bouffées encore plus courtes. En gros on retrouve exactement la même distribution quelle que soit l'échelle de temps servant à observer le phénomène, ce qui est une définition évidente d'une distribution fractale, mais une fractale aléatoire.

Autrement dit les parasites se répartissent au hasard, mais ce hasard n'est pas informe ; il a une structure et Mandelbrot a montré que cette structure avait une forte analogie avec ce qui est probablement la fractale la plus ancienne connue : la poussière de Cantor (ou ensemble de Cantor, décrite par ce mathématicien vers 1872).

Pour comprendre la construction de cette figure imaginez que vous partez d'un segment de droite dont on enlève le tiers central. Faites la même opération sur les 2 segments restants, puis par itération successive sur les différents segments de plus en plus petits résultant de cette manipulation.

Bien entendu cette structure est trop régulière mais Mandelbrot a montré qu'en mélangeant ses parties de façon aléatoire on retrouve la structure des rafales de parasites.
Mandelbrot a également beaucoup travaillé sur les cours boursiers. Les théories traditionnelles considéraient que les fluctuations à cours terme étaient plus ou moins aléatoires mais que les variations à long terme reflétaient de vraies tendances économiques.

Or par une étude précise de séries de cours boursiers Mandelbrot montre que les fluctuations à long terme ont exactement la même allure que les fluctuations à cours terme (invariance d'échelle). Bien entendu cette théorie fractale des cours boursiers ne permet pas de prédire ce qui va se passer à un moment donné mais elle permet de prédire que des variations brutales peuvent se produire de manière pratiquement inattendue lorsque la liberté des cours n'est pas encadrée par des freins institutionnels.

La nature regorge de structures qui sont fractales, au moins jusqu'à un certain niveau. C'est le cas de la prodigieuse ramification des bronches dans les poumons, chaque bronchiole se terminant par une alvéole pulmonaire dont le nombre total est de 200 à 300 millions ! C'est aussi le cas de la ramification des vaisseaux dans le corps, et dans une moindre mesure celle des branches et rameaux des plantes. Divers cristaux forment au cours de leur croissance des dendrites fractales, comme par exemple le givre.

Après avoir constaté la nature fractale de nombreuses côtes, Mandelbrot s'est très vite demandé s'il n'en était pas de même pour le relief terrestre. Il a initié des travaux, poursuivis en particulier par son élève Ken Musgrave qui ont abouti à la réalisation de programmes engendrant des reliefs terrestres d'un réalisme étonnant.

Allant encore plus loin Mandelbrot a proposé que la répartition des galaxies dans l'univers soit fractale. Ce qui pouvait passer pour une supposition osée de quelqu'un qui s'aventurait hors de son domaine de compétence a été confirmé par divers astronomes. Il semble bien que les nuages gazeux interstellaires (dans notre galaxie) aient une répartition fractale aléatoire. Il en est de même de la répartition des galaxies et des amas de galaxies. Ceci s'exprime par une loi simple : la masse d'une structure (nuage gazeux, galaxie, amas de galaxie) est proportionnelle à une puissance D de sa taille, cette puissance étant une dimension fractale.

Curieusement, d'après Mandelbrot, la répartition des crues du Nil au fil des années (crues de faible ou de forte importance, du moins avant le barrage d'Assouan) suit pratiquement la même loi que la fluctuation des cours boursiers. Il en est de même pour beaucoup d'autres fleuves.
Un autre domaine où les fractales ont été beaucoup utilisées est l'étude de la percolation, c'est-à-dire de la manière dont un liquide s'infiltre dans un substrat poreux, le sol généralement. Ceci intéresse de nombreux domaines et en particulier les compagnies pétrolières pour l'extraction du maximum possible de pétrole d'un gisement.

En effet ce pétrole imbibe les roches poreuses du gisement et on peut être amené, pour faciliter son extraction, à le « pousser » en injectant de l'eau dans ces roches.

Remerciements : toutes les photographies de fractales naturelles illustrant ce texte sont reproduites (après une légère réduction) avec l'aimable autorisation du professeur Julien Clinton Sprott, de l'Université du Wisconsin. Son site peut être consulté à l'adresse
http://sprott.physics.wisc.edu/fractals.htm