Les fractales - 02/05/2007

Avant de nous aventurer à donner une définition théorique, le plus simple est de donner un exemple classique de fractale, la courbe de von Koch, dans sa variante appelée habituellement « flocon de neige de von Koch ». Cette courbe a été publiée en 1904 et le titre de l'article mérite d'être cité : « Sur une courbe continue sans tangente, obtenue par une construction géométrique élémentaire ».

Cette « courbe » s'obtient en appliquant à chaque côté d'un triangle équilatéral une transformation simple : on remplace le 1/3 central de chaque côté par 2 segments ayant la même longueur que celle qui a été prélevée et on recommence la même opération sur chaque côté de la figure obtenue. À la première itération ("Action de répéter, de faire de nouveau" Petit Larousse). on obtient une image proche d'une étoile de David, puis au fur et à mesure des itérations successives le résultat mime plus ou moins un flocon de neige. Remarque capitale, à quelque grossissement qu'on examine la « courbe » on observera les mêmes détails... pour autant que le nombre d'itérations soit infini (ou, au moins, assez important).

Remarquons au passage qu'il est matériellement impossible de dessiner exactement une fractale puisqu'il faudrait poursuivre les itérations à l'infini. En pratique on s'arrête quand les plus petits détails sont inférieurs à la résolution de l'écran.

Ce type de courbe présente une particularité bien curieuse. La première intuition conduit à penser que le périmètre de cette figure tend vers une valeur limite finie, puisqu'on ajoute des détails de plus en plus petits au fur et à mesure des itérations successives. En réalité, à la première itération la longueur L de chaque côté est remplacée par 4 segments de longueur L/3 ; à la deuxième elle devient 16 L/9... À chaque itération la longueur est donc multipliée par 4/3, ce qui signifie que (contrairement à l'intuition première) la longueur d'une courbe de Koch tend vers l'infini pour un nombre d'itérations infini (série géométrique de raison 4/3). Et pourtant cette courbe ne déborde à aucun moment des limites constituées à l'extérieur par le cercle circonscrit au triangle initial, et à l'intérieur par le cercle inscrit dans ce triangle ! En d'autres termes une surface de dimension finie est limitée par une frontière de longueur infinie.

Question : sauriez-vous démontrer que cette surface tend vers

a étant la longueur du côté du triangle initial ?

• a ) Notion de dimension fractale

Une autre propriété encore moins intuitive est relative à la dimension géométrique des objets fractals (attention, ne confondez pas dimension et longueur !). Nous savons tous qu'un point est une figure de dimension 0 ; qu'une ligne droite est un objet de dimension 1 ; qu'une surface plane est un objet de dimension 2 ; qu'un volume est de dimension 3... Ceci est la dimension euclidienne ou topologique (en réalité ces deux termes ne snt pas strictement synonymes). Qu'en est-il d'un objet fractal ?
Il existe plusieurs méthodes mathématiques pour exprimer la dimension d'un objet.

On peut tenter une approche simplifiée. Imaginons que je veuille mesurer la limite (supposée droite) entre deux terrains, que cette longueur soit de 10 m et que je dispose d'une règle de 1 m. Il est évident que je dois l'appliquer 10 fois le long de la limite pour faire la mesure. Si ma règle fait 0,5 m je devrai la reporter 20 fois. On voit que, si je divise par n la longueur de la règle je dois multiplier par n le nombre de fois où je la reporte, ce qui donne un rapport de n/n=1.

Si la longueur à mesurer est une courbe on comprend qu'en utilisant une règle droite reportée n fois de la même manière on n'aura qu'une valeur approximative, notablement sous-évaluée. Plus la règle sera courte, plus l'opération sera fastidieuse, mais plus le résultat sera précis. Pour une règle suffisamment (infiniment) petite, si je divise par n sa longueur, je multiplie encore par n le nombre de fois où je l'applique le long de la ligne et j'obtiendrai la longueur exacte de la courbe. Ceci donne toujours un rapport de n/n, soit 1 (c'est vrai aussi si j'écris ln n/ln n, remarque qui va nous servir bientôt). On voit clairement dans l'image ci-dessous qu'on se rapproche de plus en plus de la longueur réelle de la courbe rouge quand on prend la règle verte, la jaune et enfin la bleue.

Imaginons maintenant que je veuille recouvrir une surface avec du carrelage. S'il me faut n carreaux de 20 cm de côté, et que changeant d'avis je veuille des carreaux de 10 cm de côté, je sais qu'il ne me faudra pas 2 fois plus de carreaux, mais 4 fois plus, puisque la surface est proportionnelle au carré des dimensions linéaires.

Autrement dit n'=n². Donc ln n'/ln n=ln n²/ln n=2 et ln n²/ln n=2. Chacun sait que 2 est la dimension euclidienne ou topologique de toute surface. On voit sans difficulté que cette relation se vérifie quelle que soit la taille choisie pour les carreaux. Cette manière de calculer la dimension est appelée dimension de Hausdorff-Besicovitch ou "dimension fractale". En fait les choses sont plus compliquées et des renseignements supplémentaires pourront être trouvés sur la page : http://fractals.iut.u-bordeaux1.fr/jpl/dimension.html

Le même raisonnement s'applique sans difficulté à la dimension 3 pour les volumes.

Sans entrer dans les détails on peut penser qu'un objet bizarre comme la courbe de Koch, qui a une longueur infinie tout en n'emplissant qu'une région très limitée du plan, doit avoir des propriétés très particulières. L'image ci-dessous montre en effet clairement que chaque fois qu'on réduit d'un facteur 3 la longueur de la règle, on multiplie par 4 le nombre de fois où l'on doit l'appliquer le long de la figure. Ceci démontre que sa dimension de Hausdorff-Besicovitch est égale à ln 4/ln 3=1,26… Presque tous les objets fractals ont des dimensions non entières mais ce n'est pas obligatoire, contrairement à certaines définitions erronées qu'on peut lire.

Ceci est encore moins intuitif qu'une longueur infinie, mais nous amène à une définition à peu près correcte des fractales :

Les fractales sont des objets dont la dimension de Hausdorff-Besicovitch est strictement supérieure à la dimension topologique.

Le cas du flocon de von Koch nous conduit directement à une question abordée par Mandelbrot et qui a beaucoup contribué à la popularité des fractales : quelle est la longueur de la côte de la Bretagne ? En fait le premier à avoir abordé cette question et à y avoir répondu correctement est Jean Perrin, dans une préface prémonitoire de son livre. « Les atomes » publié en 1913, texte auquel Mandelbrot rend un hommage appuyé dans « Les objets fractals ». Un extrait important du texte de Jean Perrin peut être consulté à
http://fractals.iut.u-bordeaux1.fr/jpl/perrin.html

Remarquons que cette côte présente de très nombreuses circonvolutions avec quelques grands golfes qui contiennent des golfes plus petits et des criques de toutes tailles, ainsi que des promontoires plus ou moins découpés. Sur le terrain nous observerons en outre des détails de plus petite taille qui ne peuvent pas être représentés sur la carte et qui sont dus aux irrégularités des rochers. Imaginons l'ogre du conte parcourant cette côte avec des bottes de 7 lieues. En comptant le nombre d'enjambées (n) il trouvera une longueur approchée pour cette côte (soit n fois 7 lieues). S'il enlève les bottes de 7 lieues pour faire le même chemin à pied il trouvera une longueur plus importante. Imaginons le même voyage fait par le petit Poucet, par un chien ou par une fourmi : chacun trouvera une longueur plus grande et, chose importante, ces valeurs approchées ne convergent pas vers une longueur finie qu'on pourrait extrapoler à partir des résultats donnés par chacun. Au contraire, tout comme le flocon de von Koch, la longueur de la côte de la Bretagne est, en toute rigueur, infinie.

Quelle est la contribution de Mandelbrot au problème de la longueur des côtes ? Dans l'article How long is the coast of Britain ? Statistical self-similarity and fractional dimension (Sciences, 155, 636-638 ; 1968) l'auteur part des résultats d'un article peu connu de Richardson où ce dernier montre que la longueur d'une côte est fonction d'une puissance α du pas (au sens de l'explication ci-dessus). Là où ce dernier ne voyait dans α qu'un exposant empirique de sa formule, Mandelbrot interprète 1+α comme une dimension (au sens de Hausdorff et Besicovitch) et montre la nature fractale (le terme n'existait pas encore) des côtes. Ce travail semble avoir été à l'origine des recherches de Mandelbrot et de ses continuateurs sur l'utilisation des fractales pour obtenir des images de synthèse de paysages. En effet un raisonnement du même type peut être appliqué au relief, c'est-à-dire en passant de la dimension euclidienne 2 à la dimension 3.

• b ) Auto-similarité

Reprenons une phrase écrite plus haut à propos de la courbe de von Koch : « Remarque capitale, à quelque grossissement qu'on examine la “courbe” on observera les mêmes détails ». Ceci est une propriété importante de toute structure fractale désignée par les termes auto-similarité, homothétie interne ou encore invariance d'échelle. Cette propriété s'explique par le fait que toute image fractale est engendrée par un processus d'itération théoriquement infini. Dans le cas de la courbe de von Koch les choses sont très simples puisque les détails sont rigoureusement identiques quelle que soit l'échelle. C'est pourquoi, quand on regarde une portion de cette figure il est impossible de dire si on la regarde à l'échelle 1, ou si l'on a fait un zoom de 10 fois, 100 fois, ou 1 million de fois.

Mais cette stricte identité n'est qu'un cas particulier. Dans de nombreuses fractales obtenues à partir de fonctions mathématiques, les détails sont simplement similaires sans être strictement identiques. Il en est de même pour les structures fractales observées dans les objets naturels : les différents golfes et les criques de la côte de Bretagne n'ont pas exactement le même dessin ; il n'empêche que cette côte a indiscutablement une structure fractale dont on peut calculer la dimension. En outre les structures fractales naturelles ne sont pas fractales à l'infini : l'auto-similarité s'arrête en général à un moment (si en explorant la côte on tombe sur une jolie plage de sable fin bien régulière, il est évident qu'elle n'est pas fractale).

Les images fractales théoriques ont donc une propriété que ne montre aucune autre figure géométrique ou aucune courbe mathématique : on peut zoomer dedans à l'infini, on observera toujours de nouveaux détails. C'est cet aspect particulier de la notion d'infini qui rend les fractales si fascinantes et qui a contribué à leur popularité (au point même que certains en ont même tiré des élucubrations mystico-philosophiques). Cette propriété est largement exploitée par les créateurs d'images fractales calculées par ordinateur. Songez qu'une image de 800x600 pixels comporte 480.000 points calculés individuellement et faisant l'objet d'au moins 100 à 200 itérations chacun (et souvent bien plus) pour avoir une image assez précise : vous imaginez combien la puissance des ordinateurs modernes est utile. Il n'était pas rare il y a 10 ou 15 ans que certaines images aient nécessité plusieurs jours de calcul.

• c ) Fractales et chaos

Les notions de fractales et de chaos sont souvent associées au point que la confusion est souvent faite entre ces deux domaines. Ceci s'explique par deux raisons. D'une part le livre de Gleick « La théorie du chaos, vers une nouvelle science » a joué, pour la diffusion de ces idées, un rôle au moins aussi important que celui de Mandelbrot pour les fractales, bien qu'il s'agisse là de l'ouvrage d'un journaliste scientifique et non d'un chercheur. Ce livre contient d'ailleurs un chapitre important sur les fractales.

La confusion entre les deux notions est particulièrement bien illustrée par le livre de Michael Crichton « Jurassic Park » adapté brillamment au cinéma par Steven Spielberg. Un des protagonistes important de l'histoire est Ian Malcom, mathématicien spécialiste du chaos. Le livre est divisé en plusieurs parties appelées première itération, deuxième itération… et chacune d'elle débute par une des étapes successives de la construction d'une fractale célèbre appelée courbe du dragon, courbe qui n'a rien à voir avec un phénomène chaotique.

Courbe du dragon après 10 itérations

La théorie du chaos déterministe repose sur le fait que certains phénomènes, décrits par des systèmes d'équations, à première vue très classiques, se révèlent imprédictible dans les faits parce que très sensibles aux conditions initiales. Cette expression un peu obscure signifie que la moindre différence au départ du phénomène, ou la moindre imprécision, même minime, dans la mesure des paramètres initiaux, se trouve amplifiée dans de telles proportions que l'état atteint par le système au bout d'un certain temps peut être totalement imprévisible. Pour prendre une comparaison à peine exagérée imaginons un artilleur qui pointe son canon sur une cible : il sait que la précision de son tir dépend de la précision de ses réglages, mais il sait aussi que l'erreur par rapport à la cible est proportionnelle à l'imprécision de ses réglages. En d'autre terme il peut s'attendre à ce que l'obus tombe un peu à côté de la cible, mais en aucun cas à ce que l'obus tombe derrière lui ! Or c'est ce qui pourrait se produire si le tir était un phénomène chaotique. Ceci est dû au fait que l'imprécision à l'arrivée n'est pas du tout proportionnelle à l'imprécision initiale et ceci s'explique par le fait que les équations des phénomènes chaotiques sont généralement non linéaires.

Ceci n'a à priori rien à voir avec une définition des fractales, qu'on les considère comme des objets ayant une auto-similarité interne ou comme des objets dont la dimension de Hausdorff-Besicovitch est supérieure à la dimension euclidienne.

Mais il existe pourtant deux points communs au moins entre fractales et chaos

Le premier est que dans le cas d'un phénomène chaotique comme dans celui d'un objet fractal, il n'est pas possible connaissant deux points, même très proches, d'interpoler la valeur exacte (ou même approchée) d'un point intermédiaire.

Dans les deux cas le point intermédiaire qu'on cherche à approximer peut en réalité se situer n'importe où. On peut d'en convaincre en pensant à la côte de la Bretagne : soient les coordonnées de deux points distants de 2 km ; on peut se tromper de plusieurs kilomètres si l'on suppose naïvement qu'on peut trouver la position du point situé à mi-distance sur la côte en prenant la moyenne de la longitude et celle de la latitude des deux points. Si le point réel se situe dans un golfe ou sur un promontoire, il peut être n'importe où sauf sur la côte (au contraire cette approximation marche très bien pour la côte aquitaine, qui n'est pas du tout fractale). On rencontre un problème similaire pour de nombreux phénomènes chaotiques, par exemple dans l'écoulement chaotique d'un fluide où l'on voit s'entremêler des grands et des petits tourbillons.

Le deuxième point commun est plus abstrait. Il a trait à une représentation de l'évolution des phénomènes dans ce qu'on appelle un espace de phase. En gros on représente habituellement un mouvement dans le temps et dans le système de coordonnées de l'espace qui nous est familier. Or il y a une autre manière de représenter l'évolution d'un phénomène : si celui-ci dépend de n variables on peut choisir un système de coordonnées avec une dimension pour chaque variable (ceci conduit souvent à des espaces à plus de trois dimensions, mais ce n'est pas un problème pour le raisonnement sauf que ce n'est pas représentable graphiquement). À chaque instant l'état du phénomène est représenté par un point dans cet espace fictif et l'ensemble de ces points dessine une figure qu'on appelle un attracteur. La théorie montre que dans l'immense majorité des cas ces attracteurs sont très simples. Par exemple l'attracteur pour un pendule simple non amorti est un cercle (un des axes de coordonnées représente la distance de l'extrémité par rapport à la verticale, et l'autre la vitesse à chaque instant). Au contraire dans le cas des systèmes chaotiques l'attracteur prend une allure très complexe dont la trajectoire ne se recoupe jamais, ce qui explique son appellation d'attracteur étrange. Or dans beaucoup de cas (mais pas dans tous) la structure de cet attracteur est fractale.

Un attracteur étrange dans un espace à trois dimensions

Il y a donc bien des points communs entre deux concepts issus de points de départ théoriques très différents.